5. 实数进位制

[进位制的基与数字]  任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数,各数字的值与数字所在的位置有关,任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大10倍,当小数点向左移一位时其值缩小10.例如

一般地,任一正数a可表为

这就是10进数,记作a(10),数10称为进位制的基,式中ai{0,1,2,L,9}中取值,称为10进数的数字,显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数.现在取q为任意大于1的正整数当作进位制的基,于是就得到q进数表示

  (1)

式中数字ai{0,1,2,L,q-1}中取值,anan-1La1a0称为q进数a(q)的整数部分,记作[a(q)];

a-1a-2L称为a(q)的分数部分,记作{a(q)}.常用进位制,除10进制外,还有2进制、8进制、16进制等,其数字如下

                2进制     0, 1

                8进制     0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

               16进制     0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

                           

[2816进制的加法与乘法表]

2进制加法表

 

2进制乘法表

+

0

1

 

0

1

0

0

1

 

0

0

0

1

1

10

 

1

0

1

8进制加法表

+

0

1

2

3

4

5

6

7

0

00

01

02

03

04

05

06

07

1

01

02

03

04

05

06

07

10

2

02

03

04

05

06

07

10

11

3

03

04

05

06

07

10

11

12

4

04

05

06

07

10

11

12

13

5

05

06

07

10

11

12

13

14

6

06

07

10

11

12

13

14

15

7

07

10

11

12

13

14

15

16

 

8进制乘法表

0

1

2

3

4

5

6

7

0

00

00

00

00

00

00

00

00

1

00

01

02

03

04

05

06

07

2

00

02

04

06

10

12

14

16

3

00

03

06

11

14

17

22

25

4

00

04

10

14

20

24

30

34

5

00

05

12

17

24

31

36

43

6

00

06

14

22

30

36

44

52

7

00

07

16

25

34

43

52

61

 

 

16进制加法表

+

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

00

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

01

02

03

04

05

06

07

08

09

0

10

2

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

3

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

4

04

05

06

07

08

09

10

11

12

13

16进制加法表

5

05

06

07

08

09

10

11

12

13

14

6

06

07

08

09

10

11

12

13

14

15

7

07

08

09

10

11

12

13

14

15

16

8

08

09

10

11

12

13

14

15

16

17

9

09

10

11

12

13

14

15

16

17

18

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

16进制乘法表

+

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

1

00

01

02

03

04

05

06

07

08

09

2

00

02

04

06

08

10

12

14

16

18

3

00

03

06

09

12

15

18

21

24

27

4

00

04

08

10

14

18

20

24

28

30

34

38

5

00

05

14

19

23

28

32

37

41

46

6

00

06

12

18

24

30

36

42

48

54

7

00

07

15

23

31

38

46

54

62

69

8

00

08

10

18

20

28

30

38

40

48

50

58

60

68

70

78

9

00

09

12

24

36

48

51

63

75

87

00

14

28

32

46

50

64

78

82

96

00

16

21

37

42

58

63

79

84

00

18

24

30

48

54

60

78

84

90

00

27

34

41

68

75

82

00

38

46

54

62

70

00

69

78

87

96

 

[8-216-2数字转换表]

 

8进数

0

1

2

3

4

5

6

7

2进数

000

001

010

011

100

101

110

111

16进数

0

1

2

3

4

5

6

7

2进数

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

16进数

8

9

2进数

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

 

[各种进位制的相互转换]

1°  q10转换  适用通常的10进数四则运算规则,根据公式(1),可以把q进数a(q)转换为10进数表示.例如

2°  10q转换  转换时必须分为整数部分和分数部分进行.

对于整数部分其步骤是:

(1) 用q去除[a(10)],得到商和余数.

(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.

(3) 用商替换[a(10)]的位置重复(1)(2)两步,直到商等于零为止.

       对于分数部分其步骤是:

(1)用q去乘{a(10)}.

(2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.

(3)用乘积的分数部分替换{a(10)}的位置,重复(1)(2)两步,直到乘积变为整数为止,或直到所需要的位数为止.例如:

103.118(10)=147.074324L(8)

整数部分的草式

分数部分的草式

                                   

3°  pq转换  通常情况下其步骤是:a(p)a(10)a(q).如果p,q是同一数s的不同次幂,其步骤是:a(p)a(s)a(q).例如,8进数127.653(8)转换为16进数时,由于8=2316=24,所以s=2,其步骤是:首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数(三位一组)

127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)

然后把2进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分组,从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字,即