4.数值导数

当函数用图形或表格给出时,就不可能用定义求出它的导数,只能用近似方法求数值导数.

[图解微分法]  适用于用图形给出的函数求导数,例如机械设计中已知s－t图,求图,  a－t图等,其基本步骤如下：

(1)        将原坐标系Oxy沿y轴负方向平移一段距离得坐标系 (图5.4).

图5.4

(2)  过曲线y=f(x)上点M₁(x₁,y₁)作切线M₁T₁ .在坐标系内,过点P(－1,0)作PQ₁平行于M₁T₁交y轴于点Q₁ ,那末点Q₁ (点)的纵坐标就是导数.以Q₁的纵坐标为纵坐标,x₁为横坐标作出点.

(3)  在曲线y=f(x)上取若干个点,在曲线弯曲程度较大处点取得密些.仿上作法,在坐标系内得到相应点,顺次连成光滑曲线,即是导函数的图形.

[差商公式]  在实用中常使用下列简单的近似公式

,,…,

式中

   =          （函数f (x)在点a的１阶差分）

　   　  （函数f (x)在点a的２阶差分）

 ……………………………………

   （函数f (x)在点a的k阶差分）

在函数的数值表中,如果有误差,则高阶差分的偏差较大,所以用以上公式不宜计算高阶导数.

[用插值多项式求数值导数]  假定已经求出了函数y=f (x)的插值多项式P_n (x),它可以求导,则用近似,由

f(x)=P_n(x)+R_n(x)

略去余项,得

≈           ≈

等等.它们的余项相应为,,等等.

应当指出,当插值多项式P_n(x)收敛于f(x)时, 不一定收敛于f' (x).另外,当h缩小时,截断误差减小,但舍入误差却增加,因此,采用缩小步长的方法也不一定能达到提高精度的目的.由于用插值法求数值微分的不可靠性,在计算时,要特别注意误差分析,或者改用其他方法.

[拉格朗日公式]  (由拉格朗日插值公式得来,见第十七章,§2,三)

式中                                

     ()

[马尔科夫公式]  (由牛顿插值公式得来,见第十七章,§2,二)

                           ()

特别,当t = 0时,有

[等距公式]

三点公式

≈

四点公式

≈

五点公式

≈

[用三次样条函数求数值导数]  这个方法能避免用插值法求数值导数的不可靠性.因为对于样条函数(曲线y=f(x)的三次样条函数S(x)的作法见第十七章,§2,四),当被插值函数f(x)有四阶连续导数,且h_i=x_i+1－x_i→0时,只要S(x)收敛于f(x),则导数一定收敛于,且S(x)－f(x)=O(H⁴)，－＝O(H³),,其中H是h_i的最大值,因此,可直接通过三次样条函数

求数值导数得

=

式中      ,,   。

   若仅求样点x_i上的导数,则

≈=

≈=