3. 由方程组所确定的隐函数

对由方程组

                                (1)

所确定的隐函数有下述定理:

[存在定理]  设函数F(x,y,z)G(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)的某一邻域R内定义,并且满足下列条件:

(i)   F(x,y,z),G(x,y,z)及其所有偏导数都在R内连续,

(ii)  F(x0,y0,z0)=0,G(x0,y0,z0)=0,            

(iii) 行列式

J(x,y,z)=

在点P0(x0,y0,z0)不等于零:J(x0,y0,z0)0.

那末在点P0(x0,y0,z0)的某一邻域

;;)

内有唯一的一组单值函数y=f(x),z=g(x)存在,具有下列性质:

  F[x,f(x),g(x)]0,G[x,f(x),g(x)]0,f(x0)=y0,g(x0)=z0,

  在区间()内函数f(x),g(x)连续,

  在这区间内有连续导数.

[导数的计算]  yz看作x的隐函数,将方程组(1)x微分得

这是关于的线性方程组,其行列式J0,由此可以解出.

注意,对于由方程组

所确定的隐函数有类似的结果.