2. 多变量函数的泰勒公式

[泰勒公式]  假定在某一点(x₀,y₀)的邻域D内二元函数f(x,y)有直到n+1阶为止的一切连续偏导数.分别给x及y以改变量h及k,使连结点(x₀,y₀)及(x₀+h,y₀+k)的直线段不越出D外,那末f (x,y)在D内可表成形式:

1° f (x₀+h,y₀+k)

      =      

                                                         (0<θ<1)

式中符号

的意义如下:把,看作一个数(而不是看作微分运算的符号),并根据二项公式展开,得到

==

       2⁰  

                           

                                                                                                                       

 特别,当x₀=0,y₀=0时,得到

[马克劳林公式]

f (x,y)=  

对二元以上的多变量函数有类似的公式.

[泰勒级数]  在上面泰勒公式2°中,如果把展开式进行到()和()的任意高的乘幂,则有

f (x,y)=

 

 

不论它是否收敛,以及它的和是否等于f(x,y),都称它为f(x,y)的泰勒级数.

[马克劳林级数]  在上面马克劳林公式中,如果把展开式进行到x,y的任意高的乘幂,则有

f (x,y)= f (0,0)+

不论它是否收敛,以及它的和是否等于f (x,y),都称它为f (x,y)的马克劳林级数.