八、幂级数

1.单变量的幂级数

[定义]  下列形式的级数

                          1

(式中a0,a1,都是实常数)称为x的幂级数.更一般地,级数

(式中a是一个实常数)也称为幂级数.

[绝对收敛]  如果级数(1)当x=时收敛,那末对于满足|x|<||的任何x的值,级数(1)都绝对收敛.

[收敛半径与收敛区间]  对于任何一个幂级数,都有一个数R(0R<+),使得当|x|<R时,级数绝对收敛,当|x|>R时,级数发散.这个数R称为给定级数的收敛半径,区间(R,R)称为它的收敛区间,而在区间的两个端点x=Rx=R,级数可能收敛也可能发散.

收敛半径R可按柯西-阿达玛公式

或公式                                                     R=

计算(若极限存在).

[阿贝尔定理]  若幂级数S(x)=( |x|<R)在收敛区间的端点x=R处收敛,则

S(R)=

[内闭一致收敛]  若级数(1)的收敛半径等于R,则对任意满足0<<R,级数(1)在区间[]上一致收敛.

[连续]  幂级数的和在收敛区间内的每一点处都连续.

[逐项积分]  在级数(1)的收敛区间内的任何一点x,都有

式中S(x)表示级数(1)的和.

[逐项微分]  幂级数(1)的和S(x)在这个级数的收敛区间内的任一点上都可微.逐项微分级数(1)得到的级数

与(1)具有同样的收敛半径,并且这个级数的和就等于.

[高阶导数]  若级数(1)有收敛半径R,则它的和S(x)在区间(,R)内的任何一点都有任意阶导数,并且函数n=1,)就是逐项微分级数(1n次所得到的那个级数(它的收敛半径也同样是R)的和

=            <x<R