2.多变量的幂级数

[双变量的幂级数]  按变量x,y的正整数幂次排列的形如

                                                           2

的重级数称为双变量x,y的幂级数.

多变量幂级数的收敛范围的研究有很多地方与单变量的不同,但仍有

定理  若在x=x0,y=y0时级数(2)收敛,则当

|x|<|x0|,|y|<|y0|

时,级数也收敛.

[收敛范围]  如果M是两个变数x,y的区域,在其中各点上幂级数(2)都收敛,而在其外各点上幂级数(2)发散,在边界点上可能发散,也可能收敛.那末区域M称为幂级数(2)的收敛范围.

双变量的幂级数的收敛范围并不一定是|x|<R1|y|<R2的形式,例如

1°  级数

的收敛范围是|x|<1|y|<1.

  级数

处处收敛.

  级数

=1+x++xy+x2y+x3y++x2y2+

(=(1+x+)[1+xy+]=)

的收敛范围是|x|<1|xy|<1.

以上结果容易推广到多变量的幂级数中去.