2．多变量函数的极值

[极值(极大值或极小值)]  设函数

y= f (x₁,x₂,)= f (x)

定义于区域D中，且x⁰=()是这区域内的一点.

若点x⁰有一个邻域

0<||<δ,i=1,2,

使对于其中一切点，下面不等式成立：

f (x)< f (x⁰)    ( 或f (x)> f (x⁰))

则称函数f (x)在点x⁰处有极大值（或极小值）.

[极值存在的必要条件]  假定函数f (x)在区域D内存在有限偏导数.若在点x⁰(∈D)处函数有极值，则必有

                                             （2）

所以极值只能在使（2）式成立的点达到，这种点称为稳定点.

[极值存在的充分条件(二元函数的情形)]  设点x⁰=（）为函数y= f (x₁,x₂)的稳定点，并且函数f (x₁,x₂)在稳定点x⁰的邻域内有定义，连续，并有一阶及二阶连续偏导数.引进记号

，k = p₁+p₂

上指标“0”表示偏导数是在x⁰计算的.记

D₁=,D₂=

那末（i）稳定点x⁰是极小点的充分条件是：

D₁>0  和  D₂>0

即                                             >0  和  >0

（ii）稳定点x⁰是极大点的充分条件是：

D₁<0  和  D₂>0

即                                             <0  和  >0

若D₂<0，则x⁰不是极值点，当D₂=0时不能肯定x⁰是否极值点，必须考察更高阶的偏导数.

[极值存在的充分条件(一般情形)]  设点x⁰=()为函数y= f (x)= f (x₁,x₂,)的稳定点，并且函数f (x)在稳定点x⁰的邻域内有定义，连续，并有一阶及二阶连续偏导数.引进记号

  k =

上指标“0”表示偏导数是在x⁰计算的.定义行列式D_i为

D_i

对n个变量依次计算n个行列式D₁,D₂,…,D_n.那末

（i）稳定点x⁰是极小点的充分条件是：所有的行列式都是正的，即

D_i>0,  i=1,2,

（ii）稳定点x⁰是极大点的充分条件是：所有标号为偶数的行列式是正的，所有标号为奇数的行列式是负的，即

D_i<0,  i=1,3,

D_i>0,  i=2,4,

如果上列两条件都不满足，那末稳定点可以不是极值点.如果所有的D_i都是零，就必须考察更高阶的偏导数.