3.约束条件为等式的条件极值

   求函数

y = f (x),  x=(x1,x2)

m(m<n)个约束条件

gk(x)=0,  k =1,2,

下的极值.

[直接代入法]  从约束条件的m个方程中将其m个变量解出,用其余n-m个变量表示,然后直接代入函数中去,这样就变为一个求nm个变量的函数的无约束条件的极值问题.如果从约束方程能够将m个变量解出,这个方法是可行的.

[拉格朗日乘数法]  引进修正的系数

F=y+

式中λk为待定常数.F当作n+m个变量x1,xnλ1,λ2,的无约束的函数,对这些变量求一阶偏导数得稳定点所要满足的方程:

  i =1,,n

gk=0,   k =1,2,

1  求函数

y =

在约束条件

2x1+3x2=6

下的极值.

  由于

y =

                                                      g =2x1+3x26=0

可知修正的函数为

F = ()+λ(2x1+3x26)

解方程组

                                             λx1=,x2=

所以函数F的稳定点为

x1=,    x2=

由于                            D1== 8 >0

D2==80>0

这是一个极小点,函数y的极小值为.

[惩罚函数法] 在搜索极小点时引进修正函数

F = y+                                                    (1)

式中Pk是任意大的正整数,称为惩罚函数.这样就可把问题化为新函数F的无条件极值问题,可以用不断增大Pk的数值来极小化.也可引进如下形式的新函数

F = y+      

式中Pk是任意大的正整数.

对搜索极大点时,惩罚函数前取负号,即引进新函数

F = y

                                                       F = y    

例2 用惩罚函数法解例1.

解 利用方程(1)引进修正函数

F = y+P(g)2=

解方程组

                                      x1=x2x2=

P很大时,x2趋于x1趋于,这就是稳定点.由于

D1==8(1+P)>0

D2==16(5+14P)>0

所以稳定点是一个极小点,这和例1的结果一致.