2、奇点

P0(x0,y0)是曲线

F(x,y)=0

上的一点,假定函数F(x,y)在点P0有连续的偏导数,并且满足条件

x0,y0=0,(x0,y0)=0

则称P0是曲线F(x,y)=0的一个奇点.

如果函数F(x,y)在点P0(x0,y0)的二阶偏导数不全为零,那末称P0为曲线的一个二重点.

则根据判别式的符号在二重点中又可分出如下几种类型的奇点.

名称与图形

条件与性质

举 例

结点

(i)<0

(ii)曲线有两支通过点P0,且具有不同切线

双纽线

是以原点(0,0)为其结点

孤立点

(i)>0

(ii)在点P0的充分小的邻域里,除了点P0外,没有曲线上其他的点.

曲线

的轨迹是由直线x=1和原点(0,0)组成的,原点就是它的一个孤立点

第一种尖点

 

 

 

(i)

(ii)曲线由两支组成,在点P0有公共切线,这两支在其公共法线的同侧,而在公共切线的异侧.

 

 

 

半立方抛物线

是以原点(0,0)为其第一种尖点

 

 

 

 

第二种尖点

(i)

(ii)曲线由两支组成,在点P0有公共切线,这两支在其公共法线的同侧,又在公共切线的同侧.

曲线

在原点的邻近有两支,即

它们在原点有公共切线,由于0<x<1,y总取正值,所以曲线在原点的邻近的两支都在公共切线和法线的同侧

自切点

(i)

(ii)曲线由两支组成,而彼此在点P0相切

曲线

由两条抛物线

组成,它们在原点彼此相切

如果曲线由参数方程

x = x(t), y = y(t)

表示,那末当=0=0时,由参数t0确定的点(x(t0), y(t0))是曲线的奇点.

特别,曲线由极坐标方程

                                                                 
                                                                                    图 5.9

表示,那末当==0时,点(,)是曲线的奇点.例如双曲螺线∞时,=0,所以极点是奇点.当极角增大到无穷时,曲线上的点无限逼近于极点,但又不能达到(图5.9),所以这种奇点又称为渐近点.