2. 三重积分

       [直角坐标下的三重积分]  假设有界区域V由下列不等式

              axb, y, z

 确定,其中,,,都是连续函数,且函数f(x,y,z)V上是连续的,则函数f(x,y,z)在有界区域V上的三重积分

             

   有时采用下面公式计算:

             

式中是用平行于Oyz的平面截区域V所得的截断面(6.3).

       V表示在第一卦限中由曲面和坐标平面所围成的封闭区域,则当一切常数都是正的时候,有

               

这种类型的积分称为狄利克莱积分,它在计算重积分时经常用到.

             

       [圆柱坐标下的三重积分]  (6.4)

        

                                   (一般地,02π)

式中V为直角坐标中的有界区域,V'是区域V在圆柱坐标系中的表达式.

       [球面坐标下的三重积分]  (6.5)

                         (一般地,02π,0θπ)

式中V'是区域V在球面坐标系中的表达式.

       [三重积分的变量替换(雅可比式)] 若连续可微函数

Oxyz空间的有界三维闭区域双方单值地映射到O'uw空间的闭区域V',并且当(u, ,w)V'时其雅可比式