三、    曲面积分

       [对曲面面积的曲面积分]

       1° S为逐片光滑的双侧曲面*

                      z=z(x,y)   ((x,y))

式中σ为曲面SOxy坐标面上的投影,z(x,y)为单值连续可微函数,函数f(x,y,z)在曲面S的各点上有定义并连续,则

此积分与曲面S的方向(法线的方向)无关.

       2° 若曲面S由连续可微函数

   ((u,)Ω)

给定,则

式中

             

             

             

 

  * 曲面上某一点的法线方向的选定,唯一确定了曲面上所有其他点的法线方向,它们就是选定方向的

法线在曲面上连续移动(不经过曲面边缘)的指向,所以也就决定了曲面的一侧.如果改变原来选定

的法线方向,曲面上的所有其他点的法线方向都随着改变,曲面就从一侧移到另一侧.这种曲面称为

双侧曲面.

 

     [对坐标的曲面积分]  S为光滑的双侧曲面,为它的正面,即由法线方向n(cosα, cosβ,cosγ)所确定的一侧,P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)为在曲面S上有定义并且连续的函数,则

       若曲面S由连续可微函数

     ((u,)Ω)

给定,则

             

式中

             

       [斯托克斯公式]  C是包围逐片光滑有界双侧曲面S的逐段光滑简单闭曲线,P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)是在S+C上连续可微函数,则

      

       [高斯公式]  S为包含体积V的逐片光滑曲面P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)及其一阶偏导数在V+S上连续,则有高斯公式:

             

式中cosα,cosβ,cosγ为曲面S的法线正方向的方向余弦.