l (A2x+ B2y+ C2z+D2)+

m (A3x+ B3y+C3z+D3)

    四、空间中点、直线、平面的相互关系

[二平面的夹角]

P1 A1x + B1y + C1z + D1 = 0

P2 A2x + B2y + C2z + D2 = 0

 

 

 

 

 

式中就是二平面P1P2的二面角

 

 

 

 

 

 

 

 

[平面束× 三平面共线的条件]

(A1x+ B1y+ C1z+ D1) + l (A2x + B2y + C2z + D2) = 0

(l 为参数,-¥ <l < ¥ )

 

[平面把× 四平面共点的条件]

(A1x+ B1y + C1z + D1)+

 

 

= 0

(l , m 为两个独立参数,

- ¥ < l , m < ¥ )

l 的一个确定值,表示一个通过二平面P1P2

线L的平面,当l 取一切值时,所表示的通过L的平面的全体称为平面束,L称为束的轴.

P3A3x + B3y + C3z + D3 = 0,则三个平面P1, P2, P3共线的条件为矩阵

的秩等于2.

 

l ,m 的一对确定值, 表示通过三平面P1, P2P3交点G的一个平面,当l , m 取一切值时, 所表示的通过G的平面的全体称为平面把,G称为把的顶点.

P4A4x + B4y + C4z + D4 = 0,则四个平面P1, P2, P3, P4共点的条件为行列式

[点面的距离]

法线式

xcosa +ycosb +zcosg -p = 0

一般式 Ax + By + Cz + D = 0

 

 

 

d = | x0cosa + y0cosb + z0cosg - p |

式中d为点M(x0,y0,z0)到平面的距离

[点线的距离]

L

 

式中d为点M(x0, y0, z0)到直线L的距离,ijk为三个坐标轴上的单位矢量,最外面的符号“| |”表示矢量的模

[二直线的夹角]

L1

L2

 

 

式中j 为二直线L1L2的夹角

[二不平行直线的最短距离]

L1

L2

所谓最短距离是指L1, L2的公共垂线与此两线交点之间的距离,式中正负号与行列式取同号.从此推出二直线共面的条件为d=0,所在平面的方程为

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[直线与平面的夹角]

L

P Ax + By + Cz + D = 0

式中j 为直线L与平面P的夹角

 

[直线与平面的平行与垂直条件]

线与线

面与面

线与面

p1p2 + q1q2 + r1r2 = 0

A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0