二、    矢量分析

    1.矢量微分

    [矢函数]  对于自变量t(标量)的每一个数值都有变动矢量a的确定量(长度与方向都确定的一个矢量)和它对应,则变(矢)量a称为变量t的矢函数,记作

af(t)

矢函数也可表为

a=axiajazk

式中

axfx(t)ayf(t)azfz(t)

为三个标函数.

    若把变动矢量表成点M的矢径形式

rr(t)

则当t变动时,点M在空间中描出一条曲线,称为矢函数的矢端曲线.它的坐标由三个等式给定:

r =xiyjzk

xx(t)yy(t)zz(t)

    [矢函数的极限与连续性]  若对任意给定的>0 , 都存在数>0,使得当|tt0|<

|r(t)r|<

成立,则称r为矢函数r(t)tt时的极限,记作

= r0

    存在,则

i+j+k

    = r(t0),则称矢函数r(t)tt处连续.

    [矢函数的导数与微分]  如果极限

存在,就称它为矢函数af(t)的导数,记作.矢函数af(t)的导数仍为矢函数,从而还可求它的导数,即二阶导数,记作,等等.

dadt

称为矢函数af(t)的微分.

    [矢函数求导公式]

0        (c为常矢量)

(ka)k   (k为常数)

(abc)

(a)a            (t的标函数)

 (a·b)·ba·         (顺序可以交换)

 (a×b)×ba×       (顺序不可以交换)

 (abc)=( bc)+(ac)+(ab)  (顺序不可以交换)

                          a [(t)]=      

 (t的标函数,这是复合函数的求导公式)

    [矢径形式的矢函数求导公式] 

rr(t)x(t)iy(t)jz(t)k

表示矢函数的矢端曲线,则

    1  =ijk

表示矢端曲线的切线矢量(8.10),指向t增加的方向,式中, =, =

    2   = t

式中s为矢端曲线的弧长,t为切线的单位矢量.

    3  ijk

式中,=,=

    [矢函数的泰勒公式]

        r(tt)r(t)(t)t(t)(t)+···+r(n)(t)(t)nrn(t)n+1

式中

rnx(n+1)(t1)iy(n+1)(t2)jz(n+1)(t3)k    (t < t1 , t2 , t3 < tt)

r(n)(t)= x(n)(t)iy(n)(t)jz(n)(t)k

x(n)=, y(n)=, z(n)=

[矢量函数的几个常用性质]

1  定长矢量r(t)(t),反之也真.从而切线的单位矢量的导数与原矢量垂直.

2  定向矢量r(t)//(t),反之也真.

3  一个变动矢量r(t)平行于一个定平面的充分必要条件是:混合积

()0