§2  场论初步

一、场论的基本概念及梯度、散度与旋度

[标量场]  空间区域D的每点M(x,y,z)对应一个数量值(x,y,z),它在此空间区域D上就构成一个标量场,用点M(x,y,z)的标函数(xyz)表示.M的位置用矢径r确定,则标量可以看作变矢r的函数(r).

例如温度场u(x,y,z),密度场,电位场e(x,y,z)都是标量场.

    [矢量场]  空间区域D的每点M(xyz)对应一个矢量值r(xyz),它在此空间区域D上就构成一个矢量场,用点M(xyz)的矢量函数r(xyz)表示.M的位置用矢径r确定,则矢量r可以看作变矢r的矢函数r(r)

R(r)X(xyz)iY(xyz)jZ(xyz)k

    例如流速场 (xyz),电场E(xyz),磁场H(xyz)都是矢量场.

与标量场的情况一样,矢量场概念与矢函数概念,实质上是一样的.沿用这些术语(标量场、矢量场)是为了保留它们的自身起源与物理意义.

[梯度]

grad()==ijk

式中=ijk称为哈密顿算子,也称为耐普拉算子.grad有的书刊中记作del.

    grad的方向与过点(xyz)的等量面C的法线方向N重合,并指向增加的一方,是函数变化率最大的方向,它的长度等于.

梯度具有性质:

grad() gradgrad    (为常数)

             grad() grad grad

             gradF()

[方向导数]

l·gradcoscoscos

式中l(cos,cos,cos)为方向l的单位矢量,,,为其方向角.

方向导数为在方向l上的变化律,它等于梯度在方向l上的投影.

[散度]

divr=·r=div(X , Y , Z)

式中为哈密顿算子.

    散度具有性质:

    div(ab) divadivb    (为常数)

    div(a)div aa grad

    div(a×b)b·rot aa·rotb

[旋度]

       rotr()i()j()k=×r=

式中为哈密顿算子,旋度也称涡度,rot r有的书刊中记作curl r.

旋度具有性质:

rot(ab) rot arot b    (为常数)

rot(a)rot aa×grad

rot(a×b)(b·)a(a·)b(div b)a(div a)b

[梯度、散度、旋度混合运算]  运算grad作用到一个标量场产生矢量场grad,运算div作用到一个矢量场 r产生标量场div r,运算rot作用到一个矢量场r产生新的矢量场

rot r.这三种运算的混合运算公式如下:

div rot r=0

rot grad

div grad =

grad div r(r)

rot rot r×(×r)

div grad(+)= div grad+div grad    (为常数)

div grad()=div graddiv grad +2grad·grad

grad div rrot rot rr

式中  为哈密顿算子,·为拉普拉斯算子.

    [势量场(守恒场)]  若矢量场r(xyz)是某一标函数(xyz)的梯度,即

rgrad XYZ

r称为势量场,标函数称为r的势函数.

矢量场r为势量场的充分必要条件是:rot r=0,或

 =,=,=

势函数计算公式

(xyz)(x0y0z0)

[无散场(管形场)]  若矢量场r的散度为零,即div r0,则r称为无散场.这时必存在一个无散场T,使rrot T,对任意点M

T

式中rdVM的距离,积分是对整个空间进行的.

     [无旋场]  若矢量场r的旋度为零,即rot r0,则r称为无旋场.势量场总是一个无旋场,这时必存在一个标函数,使rgrad,而对任意点M

=-

式中rdVM的距离,积分是对整个空间进行的.