二、线性变换的运算

[线性变换的和与数乘]  从空间V到空间的线性变换的集,记作

,按照下列公式定义:

这两个新的变换都是线性的,并且

分别称为线性变换的和与数乘.

按上面定义的线性变换的和与数乘,集组成F上的线性空间. 它的维数等于V的维数nm的积.

    [线性变换的乘积]  为三个线性空间,若则定义

显然是从的线性变换,称为线性变换的乘积.

    线性变换的乘积满足:

    1o分配律 

    2o结合律  .

    [幂等变换]  如果L是线性空间V到自身的线性变换,满足等式

那末称L为幂等变换.

    [同构与自同构]  若线性变换是一对一的,则称L是同构,或称L是正则的. V到自身的一个同构称为自同构. V到自身的线性变换不是自同构,则称它为奇异线性变换,否则就称为非奇异线性变换(或正则自同态).

    同构有以下性质:

    1o是一个同构的充分必要条件是:

    2oLM是同构的,

特别,对自同构,上式也成立.

    3oF上线性空间V的一切自同构所成的集G在乘法之下构成一个群. GV的线性变换群,记作,其中nV的维数.

    4oF上线性空间V的一切线性变换(自同态)所成的集R在加法和乘法之下构成一个环,称RA线性变换环.