三、方阵标准化的方法与步骤

[λ矩阵]  假定一个n阶方阵A的元素都是变数λ的复系数多项式
                    
称为λ矩阵. 一个λ矩阵的不恒等于零的子式的最高阶数r称为的秩.

    [不变因子与初等因子]  r的秩,k是正整数的一切k阶子式的最高公因式,则是一个的多项式,规定最高次项系数是1;此外规定

                  

                       

的不变因子.

把每个分解为一次因子,得到

          

式中指数有的可能是零,当时,称为的一个初等因子.

    [初等变换·矩阵的等价]  λ矩阵的下列三种变换的有限次组合称为的初等变换.

i)任何两行(列)互换;

ii)把任何一行(列)的各元素乘上同一个λ的多项式后加到另一行(列)的相应的元素上;

iii)把任何一行(列)的元素乘上同一个不等于零的复数.

应当指出,适当地施行(ii),(iii)两种变换可以得到(i.

可由经过有限次初等变换得到,则称等价,记作.

λ矩阵经过初等变换后,其不变因子和初等因子都不变.

[λ矩阵的标准形]  λ矩阵的秩为r,不变因子为,则

              

称右边的方阵为的标准形. 它是由唯一确定的.

等价的λ矩阵具有相同的标准形.

[特征矩阵]  方阵A的特征矩阵是一个特殊的λ矩阵. 所以

1o的初等因子为

                  

其中各未必两两不同,则

                    

且有

       

    2o如果nλ矩阵

              

其中,则

式中JA的若当标准形.

3oA的特征矩阵的初等因子为

            

                             

JA的若当标准形.

    [方阵标准化的步骤]  把方阵A化为A的若当标准形的步骤如下:

    (1)  利用初等变换把化为对角矩阵,分解对角线上的多项式,就得到的全部初等因子.

(2)  相应于每个初等因子,作出一个m阶的若当块


                         

    (3)  把全部若当块合并起来就得到A的若当标准形.

    1  求方阵        

         

的若当标准形.

   

                         

容易求出它的不变因子为11,所以初等因子是,因此得到A的若当标准形

    2  求方阵

                           

的若当标准形.

   

                        

经过初等变换可以把它化为如下形式的对角线矩阵

                                

所以初等因子为,相应的若当块为

所以A的若当标准形为