三、奇解及其求法

    [微分方程的奇解]  微分方程的一族积分曲线(通解)的包络,称为这个微分方程的奇解.奇解是方程的解,同时过奇解上的每一点都不止有一条积分曲线,即在奇解上的每一点,方程的解不是唯一的.

    [c-判别曲线法]  设一阶微分方程的通解为,其c是任意常数,把c看成参数.从下面方程组

中消去c而得到的所有曲线,都称为曲线族c-判别曲线,其中包含着曲线族的包络.但应注意c-判别曲线不一定都是曲线族的包络,还要作实际检验.

      求一阶微分方程

的通解和奇解.

      把方程写成

y'=p.方程两边对p求导,得

于是有

代入原方程,得通解

中消去c,得c-判别曲线y=x.直接代入原方程可知y=x不是已知方程的解,所以不是奇解,而是奇解.

    [p-判别曲线法]  对于一阶微分方程,令,那末方程的奇解一定包含在下面方程组

消去p 后得到的曲线(称为p -判别曲线)中.至于p -判别曲线是否是奇解,也需要实际检验.

      求微分方程

的奇解.

     

中消去pp-判别曲线 ,即y=.代入原方程知y=是奇解.