三、 极限圈（或极限环）

    这里只讨论n=2的情形.

    [周期解]  方程

以T为周期的周期解是满足x(t+T)=x(t)，y(t+T)=y(t)的解.周期解所对应的轨道是闭曲线.反过来，闭轨道对应于周期解.

    [极限圈]  孤立的周期解称为方程的极限圈.完整地说，就是：设 x=x(t),y=y(t)是方程的周期解，K是这个解在相平面上描出的闭曲线.如果存在正数ρ，使得对于相平面上任一与K距离小于ρ的点ζ，方程过点ζ的解就不是周期的，那末称x=x(t)，y=y(t)（即闭轨道K）为孤立的周期解，或极限圈.

    例

作坐标变换：x=rcos, y=rsin，方程组化为

通解为

图13.5

其中k,t0是任意的.取t0=0，则方程组的解为

当k=0时， 是圆周x2+y2=1；当k=c2  (c>0)时是一螺线，当t-时，趋于原点，而当t时，从内部盘旋逼近圆周x2+y2=1；当k=  (c>0)时，轨道是一曲线，当tlogc+0时，趋向无穷，而当t时，从外部盘旋逼近圆周x2+y2=1.

    轨道分布如图13.5.

    这时圆周x2+y2=1就是方程组的唯一极限圈.(0,0)是唯一的奇点.

    [极限圈存在性定理]  对于方程组

    1°  设在xy平面上有两个简单闭曲线C1及C2, C2在C1的内部，满足下面两个条件：

    (i)   C1上的点的矢量场由C1的外部指向内部，C2上的点的矢量场由C2的内部指向外部；

    (ii)  C1及C2所围成的环形区域中方程组没有奇点；

那末在 C1及C2所围成的环形区域中，一定存在稳定的极限圈（称为庞卡莱-班狄克生定理）.

    2°  如果在某单连通区域G内，不变号，并且在任何子区域D(G)内都不恒等于零，那末在G内，方程组没有任何闭轨道.