五、第二类Fr方程的逐次逼近法与诺伊曼级数解

[逐次逼近法]  在某种情形下,第二类Fr方程可用逐次逼近法来解。为此,设方程

                                                   (1)

的解可用l的幂级数来表达:

                    y(x)=y0(x)+y1(x)l+y2(x)l2+L                      (2)

   如果级数(2)在区间[a,b]上关于x是一致收敛的,那末把它代入(1)中,可逐项积分,比较l 的系数就得到确定yn(x)的递推公式

        y0(x)=F(x),      (n=1,2,L)             (3)

式中yn(x) (n=1,2,L)都是连续函数。若充分小,则级数(2)关于x绝对且一致收敛,于是级数(2)是连续函数并且是积分方程(1)的解。

[叠核 × 预解核 × 诺伊曼级数解]  K(x,x )为核,经递推公式

K1(x,x )=K(x,x ),      (n=2,3,4,L)               (4)

产生的Kn(x,x )称为已知核K(x,x )n次叠核。它满足下面公式

式中p,q为任意正整数。

由于F(x)K(x,x )分别在[a,b]上和k0(axbaξb)上连续,所以各有极大值mM

   

时,级数k0内绝对且一致收敛,记作

                                                   (5)

如果用自由项F(x)来表达yn(x),则由(3),(4)推出

并把它代入级数(2)得到

                                            (6)

因为级数(5)k0内一致收敛,所以对[a,b]上任一固定值x,它在区间内关于x一致收敛,故得积分方程(1)的解

                                  (7)

式中不依赖于自由项F(t )的函数R(x,x ;l )称为核的(或Fr方程的)预解核,级数(5)称为诺伊曼级数。

[存在性与唯一性定理]  如果把级数(5)改写为

(5)上式化为

改变符号可写为

因此,当把方程(1)F(x)换为K(x,y)时,上式表明存在预解核R(看作两个变量x,y与参数l 的函数)是方程(1)的唯一解。

  举例说明预解核的实际算法。设积分方程(1)

K(x,x )=1-3xx

由公式(4)算出它的各次叠核:

所以,从此容易推出n3,于是有

     

值得注意的是,由此式可以给出一切λ值(λ2除外)的预解核,但相应的诺伊曼级数只当时才收敛。