3、总体参数的点估计

   记x₁ ,x₂  ,···,x_n是从总体中取出的一个样本，可用样本的特征数来估计总体的数字特征。其常用方法有以下两种：

[矩法] 矩法是用样本的r阶矩作为总体r阶矩的估值。具体步骤如下：

    设的分布函数包含k个参数（其取值未知），记作。假定的k阶原点矩存在，它们自然是的函数，即

     (r=1,2,···,k)

    考虑总体的一个样本作出这一样本的r阶矩，即

                =     

然后解方程组

                (=  (r=1,2,···,k)

记所得的解为

               

用分别作为的估值。

[最大似然法]   设总体的分布是连续型的，分布密度函数为，其中是待估计的未知参数。对于给定的使函数达到最大值的，并用它们分别作为的估值。

由于ln与在同一点()上达到最大值，因此，引入函数

    L()=ln=)

它称为似然函数。只要解方程组 

                       (i=1,2,···,k)

就可以从中确定所要求的，它们分别称为参数的最大似然估计值。

   如果总体的分布是离散型的，只要把上述似然函数中的取为就可以了。

   例  正态总体的参数估计，假定已知总体遵从正态分布N(，但参数未知。现在要用总体的n次观测值x₁  , x₂  ,···, x_n求的最大似然估值。

   解  因为总体的分布密度函数为

                  

因此，似然函数为

             

解方程组

                 

得               

              

              

容易检验确实使取到最大值。因此它们分别是的最大似然估值。

[估值好坏的判别标准]

   1^°  无偏性  如果参数的估值 x₁  , x₂  ,···, x_n)满足关系式

                   

则称是的无偏估值。

   2^°  有效性  如果和都是参数的无偏估值。

               

则称比有效。进一步，如果固定样本的容量n，使极小值的无偏估值就称为的有效估值。

   3^°  一致性  如果对任意给定的正数，总有

               

则称的估值是一致的。

  由契贝谢夫不等式（见§1,三）易见，当

                     

对某成立时，是的一致估值。

  在实用中，往往应用这一充分条件来验证是否是的一致估值。

  例

总体分布	未知总体 参     数	总体参数估值	无偏性	有效性	一致性
			有 有 有 有 有 有 有	有 有 有 有	有 有 有 有 有 有