§3  随机过程

一、一般随机过程

[随机过程的定义]  对于每个tÎT(T 是某个固定的实数集),x (t)是个随机变量，就把这样的随机变量族{x (t)，tÎT}称为随机过程。随机过程一次实验的结果是定义在T上的函数，称为随机过程的一次实现。当参数t的变化范围T是个整数集合，则称

                               x (t), t=0,±1,±2,L

为随机序列。

当T只包含一个或有限个元素，{x (t)，tÎT}就是概率论中研究过的随机变量或随机矢量。

[随机过程的有穷维分布函数族]  设{x (t)，tÎT}是随机过程，对任意的正整数n及任意的t₁, t₂, L，t_nÎT,随机变量x (t₁) ,x (t₂) ,L，x (t_n)的联合分布函数为

称为随机过程的有穷维分布函数族。它不仅刻划了对应于每一个t的随机变量x(t)的统计规律性，而且也刻划了各个随机变量x(t)之间的关系，从而完整地描述了随机过程的统计规律性。

[随机过程的统计参数]  设{x (t)，tÎT}是个复值随机过程(指它的实部和虚部都是实的随机过程)。主要的统计参数有：

    1^° 均值函数  对每个tÎT,随机变量x(t)的数学期望（均值）

                  

称为随机过程的均值函数，式中F_t(x)是x(t)的分布函数。

2^° 协方差函数与方差函数  对任意的s, tÎT,

               

称为随机过程的协方差函数(或相关函数)，式中m(t)是均值函数。

特别地，当s=t,则称

                    

为随机过程的方差函数(或自相关函数)。

3^° 高阶矩  若对任意的正整数n，非负整数m₁ , m₂ ,L , m_n , m= m₁+m₂+L+m_n及任意实数t₁,t₂,L,t_n，随机变量的数学期望存在，则

称它为x (t)在t₁,t₂,L,t _n矩的一个m阶矩。

[随机过程的均方连续性]  设{x (t)，tÎT}是一随机过程，t₀ÎT,如果

                          

即                             

则称x (t)在t=t₀是均方连续的，式中l.i.m.表示均方收敛。如果x(t)对于任意tÎT都是均方连续，就称x (t)在T上是均方连续的。

随机过程{x (t)，tÎT}的如下三命题是等价的：

1^° 随机过程{x (t)，tÎT}在T上均方连续；

2^° 随机过程{x (t)，tÎT}的协方差函数R(s,t)(s,tÎT)关于s,t是连续的；

3^° 随机过程{x (t)，tÎT}的协方差函数R(s,t)(s,tÎT)在对角线s=t上关于s,t是连续的。

下面介绍几种特殊类型的随机过程：

[独立随机过程]  若对任意的正整数n和任意的t₁,t₂,Lt_nÎT,随机变量x (t₁),x (t₂),L,x (t_n)是相互独立的，即

       

则称{x (t)，tÎT}是独立随机过程。

 [正态过程]  若对任意的正整数n和任意的t₁,t₂,L,t_nÎT,随机变量x (t₁),x (t₂),L,x (t_n)的联合分布总是正态的，即

                

则称{x (t)，tÎT}是正态（或高斯）过程，式中R_jk=R(j,k),(R_jk)称为协方差矩阵;(R^jk)是(R_jk)的逆矩阵。

[马尔科夫过程]  若对任意的n=1,2,L和任意的t₀,t₁,L,t_nÎT(其中t₀<t₁<L<t_n)以及任意的实数x, y，等式

P{x (t_n)≤y|x (t_n-1)=x,x (t_n-2)=x_n-2,L,x (t₀)=x₀}=P{x (t_n)≤y|x (t_n-1)=x}

对所有的x (t_n-1),L, x (t₀)成立，则称{x (t)，tÎT}是马尔科夫过程，简称马氏过程。

[时齐马尔科夫过程]  设{x (t)，tÎT}是马尔科夫过程，若对任意的t₁ÎT,t₂ÎT

(t₁<t₂),条件分布

即条件分布F(t₁,x;t₂,y)只依赖于t₂-t₁,x,y,则称{x (t)，tÎT}是一个时齐(对时间齐次地)的马尔科夫过程。

[具有独立增量的随机过程]  若对及任意一组，其中），随机变量，，¼，是相互独立的，则称是个具有独立增量的随机过程。

[具有平稳增量的随机过程]  若对任意的t₁,t₂ÎT和任意h(t₁+h,t₂+hÎT)，随机变量

                x (t₂+h)(t₁+h)与x(t₂)(t₁)

遵从相同的概率分布，则称是具有平稳增量的随机过程。

[泊松过程]  设{x (t)，0≤t<∞}是具有平稳独立增量，取非负整数值的随机过程。如果对于任意t (0≤t<∞),关系式

    (k=0,1,2,L)

成立(其中λ>0为常数)，则称{x (t)，0≤t<∞}为泊松过程。

[维纳过程]  若随机过程{x (t)，0≤t<∞}满足P(x (0)=0)=1,具有平稳独立增量，并且随机变量x (t)的分布密度函数是

                    

则称{x (t)，0≤t<∞}是维纳过程或布郎运动过程。

[平稳过程]  若对于n=1,2,L,任意t_mÎT(m=1,2,L,n)及任意的τ(t_m+τÎT,m=1,2,L,n)，等式

              

成立，则称{x (t)，tÎT}是平稳过程(狭义的平稳过程)。