四 三次样条(Spline)内插公式

样条函数是逼近函数的一种方法。

[三次样条函数]  已知平面上的n个点，这些点称为型值点，其中称为节点。

如果函数S(x)满足以下三个条件:

(i);

(ii)S(x)在每个区间上是一个三次多项式；

(iii)S(x)在整个区间上有连续的一阶及二阶导数；

则称S(x)为过n个点的三次样条函数。

如果函数S(x)满足下面的任一边界条件(在两端点处附加的条件)，那末三次样条函数S(x)存在而且唯一∶

(a) 函数在区间两端点的一阶导数(单边导数)已知，即和为已知数。

(b) 函数在区间两端点的二阶导数为零，即。

(c) 函数为周期的，且满足。

[三次样条函数的表达形式]

 以二阶导数为参数的形式   S(x)在每个区间上表为

                                     

式中为待定参数，而是的一阶差商，是的一阶差商，即

                               

                              

 这样定义的函数S(x)在区间上满足条件(i)，(ii)。如果选择使得S(x)在上有一阶连续导数，那末S(x)在上就有二阶连续导数，而且

                                   

利用S(x)一阶导数的连续性及边界条件可以给出确定的代数方程组。

(1)边界条件为(a)的情况

在条件(a)下，由下面方程组解出

 

式中为一阶差商(同前)，和为给定的边界条件。

用矩阵表示就是

式中                           

                

当时，解出为

     

(2)边界条件为(b)的情况

在条件(b)下，由下面方程组解出：

           

                                    

用矩阵表示就是

式中

                     

              

当时，解出为

             

  以一阶导数为参数的形式S(x)在每个区间上表为

      

式中是待定参数。这样定义的函数S(x)在区间上满足三次样条函数的条件(i)和(ii)，而且S(x)在上有连续的一阶导数，同时

                                 

    有时表成下式∶

       

式中,而与定义同前。

根据在上有连续二阶导数及边界条件可以给出确定的代数方程组。

(1)  边界条件为的情况

在条件下，满足下面方程组

             

记 ，得

           

它可以改写为

                  

其中

         

由此得   

                               

(2)边界条件为(b)的情况

在条件(b)下，满足下面方程组

               

式中 为的一阶差商。

当且   时,

                      

其中，而由下述公式递归求得

   

                

   

         

(3)边界条件为(c)的情况

在条件(c)下，满足下面方程组: