§5  变 分 法

.泛函的变分与泛函的极值

[类函数与曲线的邻域]  有连续导数的函数称为类函数,有阶连续导数的函数称为类函数.

曲线邻域是指在整个区间内满足不等式

的一切可能的曲线,这时称曲线与曲线有零级接近度.如果此外还满足不等式:,则称曲线与曲线有一级接近度,其中.

[泛函]  如果对某一类函数中的每个函数,有一个的值与之对应,那末变量称为依赖于函数的泛函,记作.

[函数的变分]  所谓泛函的变量的变分是指两个函数间的差:,其中是与属于同一函数类的某一函数.

[泛函的变分]  如果泛函的改变量

可以表为如下的形式

其中来说是线性的,且当时,,那末称为泛函的变分,记作.并有

[泛函的极值]若泛函在与接近的任一曲线上的值不小于,即时,则泛函在曲线上达到极小值.类似地可以定义极大值.

如果具有变分的泛函上达到极小(极大)值,则在上有

泛函的极值问题就是寻求函数,使泛函的值达到最小(或最大).

对于依赖于多个未知函数的泛函

v[y1(x), y2(x), ¼ ,yn(x)]

和依赖于多变量的一个或多个函数的泛函

v[z(x1,x2, ¼ ,xn)]

      v[z1(x1,x2, ¼ ,xn), z2(x1,x2, ¼ ,xn), ¼ ,zn(x1,x2, ¼ ,xn)]

有类似的说法.