§2  序数与基数

    集论除了为数学各分支提供共同的形式基础以外,它本身的主要成果是序数和基数的理论.序数和基数都是正整数的推广.在§1里介绍了与集有关的基本概念,但是没有接触到有限、无限、正整数的一般定义等等，这些都将在本节作严密的说明.

一、  排队（良序）集

    [关系]  假定A是一个集，GAA，那末G称为A里的一个关系.如果<x，y>G，那末称x与y有G这种关系.

    [大小关系与分行(偏序)集]  假定G是集A里的一个关系，由<x，y>G和<y,z>G，必有<x，z>G，并且对任何xA,<x,x>G,那末称G为A里的一个大小关系.假定<x,y>G，记作x<y.如果A里有一个大小关系,那末称A为一个分行(偏序)集.

    [次序与单行集]  假定集A里有一个大小关系(<)满足条件:

    (i) 对任何xA和yA,下列各式

                         x<y,x=y,y<x

一定有一个且只有一个成立，这里x=y表示x和y相同.

    (ii) 对任何xA,yA和zA,如果x<y和y<z都成立,那末x<z成立.

    那末称这关系是A里的一个次序,称A依这次序是单行集.

    [排队集]  假定按照集A里的一个次序,A的任何一个非空子集都有最小的元素,那末称A按照这个次序排队,称A为排队(良序)集.如果A按照某个次序排队,那末A的任何一个子集也都按照这个次序排队.

    [小头]  假定B是排队集A的一个子集,B的任何一个元素都比A\B的任何一个元素小,那末称B是A的一个小头(注意,A自己也是A的一个小头,因为A\A=φ,上面的假设自然成立).如果A\B¹,那末称B为A的真小头.

    [保持次序的变换]  假定一个变换把一个单行集(不一定是排队集)A一对一地变进一个单行集B,并且象源小的象也小,那末称这变换保持次序.可以证明,假定A和B都是不空的排队集,那末其中一定有一个集可以保持次序地变上另一个集的一个小头,并且这种变换是唯一的.