二、    序数

    [序数]  如果集α满足条件:

             (i) α的每个元素都是集;

    (ii) 如果xα,yx,那末yα;

             (iii)α可以用当作次序(就是把x<y理解为xy)排队.

    那末称集α为序数.

    序数是存在的,§1,一,集的例子中所述的0和1,2,3,4等正整数就都是序数,例如2={φ,{φ}}显然具备(i),(ii),(iii)这三个条件.

    [后继序数]  假定α为序数,那末比α大的最小的序数称为α的后继序数.

    [极限序数]  假定α为序数,如果α没有最大的元素,那末比α的所有元素都大的最小的序数称为极限序数.

    [序数的性质]

1°  对任何序数α和β,式子

                        αβ,α=β,βα

一定有一个且只有一个成立.

2°  若α,β,γ都是序数,并且αβ,βγ,则αγ.

3°  若α和β都是序数,并且αβ,则α等于β的一个小头.

    上述性质说明如果把看作<,任何序数α和β可以比较大小,而且小的序数既是大的序数的一个元素，又是大的序数的一个小头.

4°  φ是最小的序数.

5° 任何一个序数α都有唯一的后继序数，如果把这个后继序数记作α+1，那末

α+1=α∪{α}

6° 一个序数α是所有比α小的序数的全体.如果α有最大的元素γ，那末α 就是γ的后继序数，不妨把γ记作α­­-1.如果α没有最大的元素，那末α不是任何序数的后继，这时α为极限序数.

7° 对任何一个序数集{α_h|hH}，存在比所有α_h都大的序数，当这个序数集没有最大的元素时，α=就是比所有α_h都大的最小的序数，α是一个极限序数；当这个序数集有最大的元素α_k时，，而比所有α_h都大的最小序数是α=α_k ∪{α_k }=()∪{α_k}.

    [布拉里-弗蒂怪异] 假定“所有序数的全体”是一个集，那末由性质7°，存在一个序数比这个集里所有序数都大，也就是有一个序数比所有序数都大，这个自相矛盾的结论就叫布拉里-弗蒂怪异.这是集论史上罗素怪异以外又一个著名的怪异.

    从公理化集论来看，这无非说明“所有序数的全体”不是集.因此要避免牵涉到这个概念，至多只说“小于某个序数α的所有序数的全体”.