§4 泰勒级数·罗朗级数·留数定理
一、泰勒级数与罗朗级数
1.泰勒级数
[泰勒级数展开定理] 设函数
在圆
（
）内解析，那末在圆内可以展成泰勒级数
式中
其中
是以
为圆心，以
（
）为半径的圆周.这个展开式是唯一的.
复变函数的泰勒级数展开式表与实变函数的幂级数展开式表（第五章§3，九）相类似，只要把实变量
换成复变量
就可以了.
[复平面内的幂级数的收敛性] 如果幂级数
在圆内绝对收敛，而在圆外发散，那末称为级数的收敛圆，
为收敛半径，并且
或者
[阿贝耳定理] 对于每个幂级数
存在一个收敛半径（
）具有下列性质：
1o 对于内每点，级数绝对收敛.在每一闭圆
（
）上，级数一致收敛.
2o 
,级数发散.
3o 在内，级数的和是一解析函数.
由性质3o和泰勒级数展开定理可知，复变函数在一点
解析和在点的邻域内可以展开为幂级数是等价的.
[运算规则] 在公共的收敛圆内，有下列运算规则：
（
）
（是任意复数）
2.罗朗级数展开定理
如果函数在环形区域
（
，
）内解析，那末在环形区域内可展开为罗朗级数
式中
， 
是任一圆周
（
），函数的罗朗级数在环形区域内的任意一个闭区域上一致收敛.
级数
称为罗朗展开的正则部分，
级数
称为罗朗展开的主要部分.
如果级数
在环形区域内收敛，那末级数的和在这个区域内解析，并且这个级数就是的罗朗级数.因此圆环上解析函数的罗朗展开式是唯一的.
3.解析函数的局部性质
[解析函数的零点] 设在
解析，并且
，则称为的零点.若
而
，则称为的
阶零点.
解析函数的零点是孤立的，也就是说，如果是的零点，并且不是
，那末一定有一正数
，使得在圆
内除外无其他零点.
[解析函数的唯一性定理] 设函数和
在区域
内解析，的内点列
（
）有一极限点属于，如果
，
那末在区域内
这个性质表明区域内的解析函数由内任一收敛于的内点的点列上的数值完全决定.
[孤立奇点（可去奇点·极点·本性奇点）] 如果函数在的一个邻域内除外解析，称是函数的一个孤立奇点.孤立奇点分三类：
1o
当
（
为有限数），称为的可去奇点.
是
的可去奇点的充分必要条件是：在的邻域里*的罗朗级数不含主要部分，或者是在的邻域里有界.
2o
当
，称为的极点.是的极点的充分必要条件是：在的邻域里的罗朗级数的主要部分只含有限多项，即
如果主要部分中
的负次幂最高的是，那末称为的阶极点.
3o
当
不存在，称为的本性奇点.是函数的本性奇点的充分必要条件是：在的邻域里的罗朗级数中主要部分有无限多项.
如果是函数f(z)的本性奇点，那末对任意复数A,都存在一点列
，
,使得
[泰勒定理] 如果函数在区域内解析，那末对于内一点，有
其中余项的形式是
C是以
为圆心的圆周（
的内部在内）.
泰勒定理是讲解析函数的有限展开式，而泰勒级数展开定理（§4，一，1）是无穷级数形式.对于研究解析函数的局部性质来说，有用的还是这里的有限展开式.
[解析函数在无穷远点的性质]
1o 无穷远点的邻域以原点为中心，为半径的圆的外部所有的点是无穷远点的一个邻域.
2o 无穷远点是的孤立奇点 设
.若
是
的可去奇点，则称
为的可去奇点；若是的阶极点，则称为的阶极点；若是的本性奇点，则称为的本性奇点.
3o 函数在无穷远点的罗朗级数 设在的邻域内的罗朗级数是
令
，得到在的邻域内的罗朗级数
， 
）
所以，当是的可去奇点时，的罗朗级数中不含的正次幂；当是的阶极点时，的罗朗级数中，只有有限项的正次幂，并且
（
）是最后一个不等于零的系数；当是的本性奇点时，的罗朗级数中，有无限多项的正次幂.
4o 函数在无穷远点是孤立奇点的性质 当是的可去奇点时，函数的模在无穷远点的某一邻域里有界；当是的阶极点时，函数的模在无穷远点的任一邻域里无界；当是的本性奇点时，对任意复数，都存在点列，
，使得.
5o 无穷远点是的零点 的罗朗级数中不含的正次幂，而且
。若
，而
（
），则称无穷远点是的阶零点.
4.单值解析函数的分类
在全平面（不包括
）无奇点的函数称为整函数（全纯函数）.
在全平面（不包括）除了极点外无其它奇点的函数称为分式函数（半纯函数或亚纯函数）
5.半纯函数的部分分式表达式
二、
留数定理及其应用
[留数的定义] 设点是函数的孤立奇点，
是圆周
，称积分
的数值为函数在孤立奇点处的留数（残数），记作
，这里为适当小的正数（使圆内无的其它奇点），留数值与的取值无关.
函数在一个孤立奇点处的留数等于在点的邻域内的罗朗展开式中负一次幂的系数，即
[孤立奇点的留数计算法则]
1o 函数在可去奇点的留数等于零.
2o 设是的一阶极点，则
3o 设是的阶极点，则
4o 设分式函数
，
和
在点解析，是的一阶零点，而
，则
（
为在的导数）
5o 设是的孤立奇点，
表示半径足够大的圆周
（使圆周外部无的其他奇点），称积分
的数值为在的留数（其中
是取顺时针方向），记作
，所以
[留数定理] 如果函数在简单闭曲线的内部内除了有限个奇点
外解析，并且在
上除了外连续，那末
[辐角原理] 如果函数在简单闭曲线的内部内除了有限个阶数分别是
的极点
外解析，在上除了点外连续，在上没有零点与极点，而在内有阶数分别是
的零点
，那末
其中
表示点沿曲线移动一圈后的辐角改变量.设是曲线在映射
下的象，则
称为曲线的回转次数.
[儒歇定理] 如果函数与在简单闭曲线及的内部解析，且在上
， 
那末在的内部，和
有相同的零点个数，即
[利用留数定理计算定积分]
1o 计算积分
如果除在实轴的上侧有有限多个孤立奇点外，在包括实轴在内的上半平面上处处是解析的，同时假设是的至少二阶的零点，或者
（
，
为常数）
那末可按照下列步骤计算积分（图10.12）：
（1）
作辅助函数，在实轴上
（2）
作附加积分路线
，使它和
合起来变成一条包含的所有奇点的闭曲线，则
（3）
求出在上半平面的各奇点的留数总和，应用留数定理，有
（4）
令
，根据假设，
，那末
例1
计算
解
（1） 作辅助函数
.
（2） 作附加积分线路：以原点为中心，半径充分大的上半圆周（图10.13）.
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（3） 在上半平面只有一个极点
，其留数为
（4）
所以
2o
计算积分 
（
）
设
是有理函数，并且分母的次数
分子的次数
（
）.
计算的基本步骤和上面一样，它的辅助函数是
，附加积分路线和积分闭曲线分下面两种情况：
（a） 如果在实轴上有有限多个一阶极点，积分闭曲线（在极点处，以各极点为圆心，
为半径在下半平面作半圆，为正向）见图10.14（a）*，那末
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这里的广义积分是柯西主值，其定义见第六章§1，五.
（b） 如果在实轴上没有奇
点，积分闭曲线见图10.14（b）.
例2 计算积分
（）
解
作辅助函数
，它只有实轴上的两个奇点
，
，所以由（a）
例3 计算积分
解 （1）作辅助函数
.
（2）作附加积分线路和
与
，
合起来变成一条包含奇点
的闭曲线（图10.15），则
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（3）在曲线内函数 只有一个二阶极点，根据孤立奇点的留数计算法则3o，得到处的留数，则
（4）可以证明当
，时，积分
，
，于是得
上式两边实部相等，所以
