§ 4 勒让德函数

 

一、        勒让德函数的定义

 

[第一类勒让德函数]

   

它在除去平面内单值解析.

[第二类勒让德函数]

  

它在除去平面内单值解析.

   

           

           

           

它在除去平面内单值解析.

   

                                               

    [一般勒让德函数]

           

          

它们在除去平面内单值解析,并且是勒让德微分方程

       

的两个线性无关解.

时,它们分别是第一、二类勒让德函数.

为正整数)时有

   

   

   

   

对于

   

         

(当时,即为勒让德多项式

   

         

            

   

        

   

               

 

二、        勒让德函数的其他表达式

 

   

                                                               

   

                                                                

   

式中平面上的一条正向的简单闭曲线(图12.2),包围点是,但不包围点.

     (或当为整数)时,       

       

                                    

            

                                                      

       

       

                                               

       

       

其中积分路线见图12.3.时,

   

   

                                        

   

                          

                                      

 

三、        勒让德函数的递推公式与有关公式

 

   

   

   

   

   

   

                

上述公式对于也适用,只需把公式中的P换为.利用

                

可得出区间上相应的递推公式,对于也有类似公式.

 

四、        勒让德函数的正交性

 

这里只讨论函数为正整数,的正交性,公式如下

   

   

   

      

 

五、        勒让德函数的渐近表达式与不等式

 

[渐近表达式]

   

                            

   

                              

[不等式]

   

   

   

   

不等式中为实数,且为正整数.