§5 贝塞耳函数

一、 第一类贝塞耳函数

[第一类贝塞耳函数的定义与表达式]

称为第一类阶贝塞耳函数，它在除去半实轴的平面内单值解析（当为整数时，在全平面上解析）.它满足贝塞耳微分方程

方程中常数（实数或复数）称为方程的阶或解的阶.

当（整数）时，是的母函数：

=

且有

[积分表达式]

（泊松积分表示）

（贝塞耳积分表示）

在点，

积分路线如图的“”字形，在点

[有关公式]

其中为函数的两个正零点.

其中为函数的两个正零点，且，是任意给定的常数.

（加法公式）

其中和表示原点到平面上任意两点的距离，为和的交角.

[渐近表达式]

固定，

固定，

（其中

二、 第二类贝塞耳函数（诺伊曼函数）

[第二类贝塞耳函数的定义与其他表达式]

称为第二类贝塞耳函数（有的书中也记作），又称为诺伊曼函数，它也是贝塞耳微分方程（1）的解，式中为第一类贝塞耳函数，

和在除去半实轴的平面内的单值解析.

整数）

为欧拉常数）

[积分表达式]

[渐近表达式]

固定，

三、 第三类贝塞耳函数（汉克尔函数）

[第三类贝塞耳函数的定义与表达式]

称为第三类贝塞耳函数，和分别称为第一类和第二类汉克尔函数，它们在除去半实轴的平面内单值解析，且满足贝塞耳微分方程（1）.

[积分表达式]

正整数，

积分路线如图12.5.

[渐近表达式]

固定，

固定，

四、 各类贝塞耳函数之间的关系与有关公式

[自递推关系] 下面表示贝塞耳函数及.

[各类贝塞耳函数之间的关系]

[其他有关公式]

五、 变型贝塞耳函数

[变型贝塞耳函数的定义与表达式]

分别称为第一类和第二类变型贝塞耳函数，也称为白塞特（Basset）函数，它们在除去半实轴的平面内单值解析

（为正整数）

为欧拉常数）

[积分表达式]

为整数）

[有关公式]

[渐近表达式]

固定，

式中“”号这样选取：当时，取正号，时，

取负号.