§4 偏微分方程的数值解法

一、 差分法

差分法是常用的一种数值解法.它是在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值.

1. 网格与差商

图14.7

在平面 (x,y)上的一以S为边界的有界区域D上考虑定解问题.为了用差分法求解，分别作平行于x轴和y轴的直线族.

(i,j=0,1,2,…,n)

作成一个正方形网格，这里h为事先指定的正数，称为步长；网格的交点称为节点，简记为(i,j).取一些与边界S接近的网格节点，用它们连成折线S_h，S_h所围成的区域记作D_h.称D_h内的节点为内节点，位于S_h上的节点称为边界节点（图14.7）.下面都在网格D_h + S_h上考虑问题：寻求各个节点上解的近似值.在边界节点上取与它最接近的边界点上的边值作为解的近似值，而在内节点上，用以下的差商代替偏导数：

注意， 1° 式中的差商称为向后差商，而称为向前差商，称为中心差商.也可用向前差商或中心差商代替一阶偏导数.

2° x轴与y轴也可分别采用不同的步长h,l，即用直线族

(i,j=0, ±1, ±2 )

作一个矩形网格.

2. 椭圆型方程的差分方法

[五点格式] 考虑拉普拉斯方程的第一边值问题

式中(x,y)为定义在D的边界S上的已知函数.

采用正方形网格，记u(x_i,y_j)=u_ij ，在节点(i,j)上分别用差商

代替，对应的差分方程为

（1）

或

即任一节点(i,j)上u_ij的值等于周围相邻节点上解的值的算术平均，这种形式的差分方程称为五点格式，在边界节点上取

（2）

式中(x_i*,y_j*)是与节点(i,j)最接近的S上的点.于是得到了以所有内节点上的u_ij值为未知量的若干个线性代数方程，由于每一个节点都可列出一个方程，所以未知量的个数与方程的个数都等于节点的总数，于是，可用通常的方法（如高斯消去法）解此线性代数方程组，但当步长不很大时，用高斯消去法将会遇到很大困难，可用下面介绍的其他方法求解.

若h0时，差分方程的解收敛于微分方程的解，则称差分方程为收敛的.

在计算过程中，由于进行四则运算引起舍入误差，每一步计算的舍入误差都会影响以后的计算结果，如果这种影响所产生的计算偏差可以控制，而不至于随着计算次数的增加而无限增大，则称差分方程是稳定的.

[迭代法解差分方程] 在五点格式的差分方程中，任意取一组初值{u_ij}，只要求它们在边界节点(i,j)上取以已知值(x_i*,y_j*)，然后用逐次逼近法（也称迭代法）解五点格式：

逐次求出{u_ij⁽ⁿ⁾}.当(i+1,j)，(i－1,j)，(i,j－1)，(i,j+1)中有一点是边界节点时，每次迭代时，都要在这一点上取最接近的边界点的值.当n∞时，u_ij⁽ⁿ⁾收敛于差分方程的解，因此n充分大时，{u_ij⁽ⁿ⁾}可作差分方程的近似解，迭代次数越多，近似解越接近差分方程的解.

[用调节余数法求节点上解的近似值] 以差商代替Δu时，用节点(i+1,j)，(i－1,j)，(i,j+1)，(i,j－1)上u的近似值来表示u在节点(i,j)的值将产生的误差，称此误差为余数R_ij，即

图14.8

设在(i,j)上给u_ij以改变量u_ij，从上式可见R_ij将减少4u_ij，而其余含有u(x_i,y_j)的差分方程中的余数将增加u_ij，多次调整u_ij的值就可将余数调整到许可的有效数字的范围内，这样可获得各节点上u(x,y)的近似值.这种方法比较简单，特别在对称区域中计算更简捷.

例 求Δu=0在内节点A,B,C,D上解的近似值.设在边界节点1,2,3,4上分别取值为1,2,3,4（图14.8）

解 记u(A)=u_A，点A,B,C,D的余数分别为

－4u_A+ u_B+ u_c +5=R_A

u_A－4 u_B + u_D+7=R_B

u_A －4 u_c+ u_D+3=R_C

u_B+ u_c－4u_D+5=R_D

以边界节点的边值的算术平均值作为初次近似值，即

u_A⁽⁰⁾=u_B⁽⁰⁾=u_C⁽⁰⁾=u_D⁽⁰⁾=2.5

则相应的余数为：

R_A=0, R_B=2, R_C= －2, R_D=0

最大余数为±2.先用δu_C=－0.5把R_C缩减为零，u_C相应地变为2，这时R_A, R_D也同时缩减(－0.5)，新余数是R_A=－0.5,R_B=2,, R_D=－0.5.类似地再变更δu_B=0.5，从而 u_B变为3，则得新余数为.这样便可消去各节点的余数，于是u在各节点的近似值为：

u_A=2.5, u_B=3, u_C=2, u_D=2.5

现将各次近似值及余数列表如下：

次数	调 整 值	第n次近似值及余数
		uA	RA	uB	RB	uC	RC	uD	RD
0 1 2	δuC = －0.5 δuB = 0.5	2.5 2.5 2.5	0 －0.5 0	2.5 2.5 3	2 2 0	2.5 2 2	－2 0 0	2.5 2.5 2.5	0 －0.5 0
结果近似值		2.5		3		2		2.5

[解重调和方程的差分方法] 在矩形D(x₀≤x≤x₀+a,y₀≤y≤y₀+a)中考虑重调和方程

取步长，引直线族

(i, j = 0, 1, 2 n)

作成一个正方形网格.用差商代替偏导数

图14.9

上式表明了以(x,y)为中心时，u(x,y)的函数值与周围各点函数值的关系，但对于邻近边界节点的点(x,y)，如图14.9中的A，就不能直接使用上式，此时将划分网格的直线族延伸，在延伸线上定出与边界距离为h的点，称这些点为外邻边界节点，如图14.9以A为中心时，点E,C为边界节点，点J,K为E,C的外邻边界节点，用下法补充定义外邻边界节点J处函数的近似值u_J，便可应用上面的公式.

1° 边界条件为

时，定义u_J=u_A－2₂(E)h.

2° 边界条件为

时，定义u_J=2₁(E)－u_A－h²₂(E).

[其他与Δu有关的网格]

1° 三角网格（图14.10(a)）

取P₀(x,y)为中心，它的周围6个邻近节点分别为：

则

式中u_i=u(P_i), u₀=u(P₀)，R表示余项.

2° 六角网格（图14.10(b)）
取P₀(x,y)为中心，它的三个邻近节点分别为

则 .

图14.10

3° 极坐标系中的网格（图14.10(c)）

取P₀(r,)为中心，它的四个邻近节点分别为

而拉普拉斯方程

的相应的差分方程为

3. 抛物型方程的差分方法

考虑热传导方程的边值问题

将[0,b]分为n等份，每段长为.引两族平行线（图14.11）

图14.11

x=x_i=ix (i=0,1,2n)

y=y_j=jt (j=0,1,2 t 取值见后)

作成一个长方形的网格，记u(x_i,t_j)为u_ij，节点(x_i,t_j)为(i,j)，在节点(i,j)上分别用

代替，于是边值问题化为差分方程

记，差分方程可写成

（1）

由此可按t增加的方向逐排求解.在第0排上u_i0的值由初值(ix)确定，j+1排u_i,j+1的值可由第j排的三点(i+1,j),(i,j),(i－1,j)上的值u_i+1,j, u_ij,u_i-1,j确定，而u_0,j+1,u_n,j+1已由边界条件₁((j+1)t)及₂((j+1)t)给定，于是可逐排计算一切节点上的u_ij值.当(x), ₁(x)和₂(x)充分光滑，且时，差分方程收敛而且稳定.所以利用差分方程（1）计算时，必须使，即.

热传导方程还可用差分方程

代替，此时如已知前j排u_ij的值，为求第j+1排的u_i,j+1 必须解包含n－1个未知量的线性代数方程组，这种差分方程称为隐式格式的差分方程，前面所提的差分方程称为显式格式差分方程.

隐式格式差分方程对任意的λ都是稳定的.

4. 双曲型方程的差分方法

考虑弦振动方程的第一边值问题

用矩形网格，列出对应的差分方程：

记与上段一样，利用和在第0排及第1排的已知数值（初始条件）u_i0 , u_i1可计算u_i2，然后用已知的u_i1 , u_i2及可计算u_i3,类似地可确定一切节点上的u_ij值.

当(x),(x),₁(x)和₂(x)充分光滑，且ω≤1时，差分方程收敛且稳定，所以要取.

二、 变分方法

1. 自共轭边值问题

将§3定义的共轭微分算子的概念推广到一般方程.

设D是中的有界区域，S为其边界，在上考虑2k阶线性微分方程

的齐次边值问题

式中f(x)是D内的已知函数，l_ju是线性微分算子.

将 分部积分k次得

式中(u,v)是一个D上的积分，其被积函数包含u,v的k阶导数；R_j和是定义在边界S上的两个线性微分算子.再将(u,v)分部积分k次得

式中L*是一个2k阶的微分算子，称为L的共轭微分算子.若L=L*，则称L为自共轭微分算子.从上面可推出格林公式

如从l_ju|_S=l_jv|_S=0可推出在边界S上

则称l_ju|_S=0为自共轭边界条件.如果微分算子及边界条件都是自共轭的，则称相应的边值问题为自共轭边值问题，此时有

每个边值问题对应于某希尔伯特空间H（例如L₂(D)，见第九章§7）中的一个算子A，其定义域M_A 是H中一线性稠密集合，它由足够次连续可微且满足边界条件的函数组成，在M_A上，Au的数值与Lu的数值相同，从而求解边值问题化为解算子方程

的问题.

设A为定义在实的希尔伯特空间H中的某线性稠密集合M_A上的线性算子.若对于M_A的任意非零元素成立

(Au,v)=(u,Av)

则称A为对称算子.若对任意非零元素u成立

则称A为正算子.如成立更强的不等式

(Au,u)≥r||u||² (r>0)

则称A为正定算子.此处(u,v)表示希尔伯特空间的内积，||u||²=(u,u).

2. 变分原理与广义解

定理 设A是正定算子，u是方程Au=f在M_A上的解的充分必要条件是： u使泛函

F(u)=(Au,u)－2(f,u)

取极小值.

上述将边值问题化为等价的求泛函极值问题的方法称为能量法.在算子的定义域不够大时，泛函F(u)的极值问题可能无解.不过对于正定算子，可以开拓集合M_A，使在开拓了的集合上，泛函的极值问题有解.为开拓M_A，在M_A上引进新的内积[u,v]=(Au,v)，定义模||u||²=[u,u]=(Au,u)，在模||u||的意义下，补充极限元素，得到一个新的完备希尔伯特空间H₀，在H₀上，泛函F(u)仍然有意义，而泛函的极值问题有解.但必须注意，此时使泛函F(u)取极小的元素u₀不一定属于M_A，因此它不一定在原来的意义下满足方程Au=f及边界条件.称u₀为广义解.

3. 极小化序列与里兹方法

在处理变分问题中，极小化序列起着重要的作用.考虑泛函

F(u)=(Au,u)－2(f,u)

以d表示泛函的极小值.设在希尔伯特空间中存在一列元素{u_n} (n=1,2)，使

则称{u_n}为极小化序列.

定理 若算子A是正定的，则F(u)的每一个极小化序列既按H空间的模也按H₀的模收敛于使泛函F(u)取极小的元素.

这个定理不但指出利用极小化序列可求问题的解，而且提供一种近似解的求法，即把极小化序列中的每一个元素当作问题的近似解.

设算子A是正定的，构造极小化序列的里兹方法的主要步骤是：

(1) 在线性集合M_A中选取H₀中完备的元素序列{_i} ， (i=1,2) 并要求对任意的n,₁,₂,…,_n线性无关.称这样的元素为坐标元素.

(2) 令 ，其中a_k为待定系数.代入泛函F(u)，得自变量a₁,a₂,…,a_n的函数

(3) 为使函数F(u_n)取极小，必须，从而求出a_k (k=1,2,…,n).序列{u_n}即为极小化序列，u_n可作为问题的近似解.

4. 里兹方法在特征值问题上的应用

算子方程

Au－u=0

的非零解称为算子A的特征值，对应的非零解u称为所对应的特征函数.

对线性算子A，若存在常数K，使对任何M_A的元素成立

(A,)≥K||||²

则称A为下有界算子，正定算子是下有界的（此时K=0）.记(A,)/||||²的下确界为d.

定理1 设A为下有界对称算子，若存在不为零的元素₀M_A，使

则d就是A的最小特征值，₀为对应的特征函数.

于是求下有界对称算子的最小特征值问题化为变分问题，即在希尔伯特空间中求使泛函(A,)/||||²取极小的元素，或在||||=1的条件下求使泛函(A,)取极小的元素.

定理2 设A是下有界对称算子，₁≤₂≤…≤_n是它的前n个特征值，₁,₂,…,_n是对应的标准正交特征函数，如果存在不为零的元素，在附加条件

(,)=1, (,₁)=0, (,₂)=0, …, (,_n)=0

下使泛函(A,)取极小，则_n+1是算子A的特征函数，对应的特征值

就是除₁ ，_n外的最小的一个特征值.

于是求第n+1个特征值就化为变分问题，即在附加条件

(,)=1, (,₁)=0, (,₂)=0, (,_n)=0

下求使泛函(A,)取极小的元素.

为了利用里兹方法求特征值，在M_A中选取一列在H₀中完备的坐标元素序列{_i}, (i=1,2)， 令，确定a_k，使在条件 (u_n,u_n)=1下，(Au_n,u_n)取极小，这个问题化为求n个变元a₁,a₂,…,a_n的函数

在条件

下的极值问题，一般可用拉格朗日乘数法解（见第九章§3，t），此时

的最小的根即为特征值的近似值，如果将上式的根按大小排列，就依次得后面的特征值的近似值，但精确度较差.

对一般算子方程

Au－Bu=0

如果A为下有界对称算子，B为正定算子，则

的根就是特征值的近似值.

5. 迦辽金方法

用里兹方法解数学物理问题有很多限制，最主要的限制是要求算子正定，但很多问题不一定满足这个条件，迦辽金方法弥补了这个缺陷.

迦辽金方法的主要步骤是：

(1) 在M_A中选取在空间H中完备的元素序列{_i} (i=1,2)，其中任意n个元素线性无关，称{_i} (i=1,2,…)为坐标元素序列.

(2) 把方程的近似解表示为

式中a_k是待定常数，把u_n代入方程Au=f中的u，两端与_j (j=1,2,…,n)求内积，得 a_k的n个代数方程

(3) 求出a_k，代回u_n的表达式，便得方程的近似解u_n.

在自共轭边值问题中，当算子是正定时，由迦辽金方法和里兹方法得到的关于a_k的代数方程组是相同的.