§4    实验曲线的光滑法

 

一、实验曲线的光滑与观测值的修匀

 

   实验数据在坐标平面上表现为一些离散的点。直接用这些观测点依序连结的折线来反映函数的变化情势常常过于粗糙，因此需要给出光滑的实验曲线。通常要求这条实验曲线与观测数据的残差平方和为最小。

实验曲线光滑法就是对观测结果的修匀，把外界的干扰和影响消除，让修匀后的观测值落在一条光滑的曲线上。

 

二、直线的滑动平均法

 

对自变量x按等距作实验观测得数据如下:

x

        …        …   

y

                …                 …          

令，上述数据变为

t

-i        …       0    1    …        

           …            …            

    用下面的方法修正的值:取定正整数n，使至少有一个成立。当及同时成立时，选取使得

             

由此得

                 

于是得时的修正公式

                 

当不同时成立时，则选取，使得

                 

式中t取[0,m]中最靠近i的2n+1个整数值。对这2n+1个t值，也得到修正公式

                 

特别在以上两种情况下，都令t=0，得到的修正值

                  

例如取n=1.当时

              

而当i=0时，应取满足

              

求出

                  

当i=m时，通过变换，可知应取

                  

 

[取三点滑动平均]   (即n=1)

                  

[取五点滑动平均]   (即n=2)

                 

[取七点滑动平均]    (即n=3)

           

 

 

 

 

 

上述修正值也可用差分表示。先按本章§2的方法作差分表

x

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

那末的修正值用差分表示为

    (i)  当n=1(即取三点滑动平均)时，

                       

    (ii) 当n=2(即取五点滑动平均)时，

          

 (iii)当n=3(即取七点滑动平均)时，

           

 

三、二次抛物线的滑动平均法

 

     沿用上一段的记号,的修正值取为二次抛物线方程

                                                              (1)

式中系数a,b,c应使

                   

 

式中t取[0,m]中最靠近i的2n+1个整数值。当同时成立时，系数a,b,c满足下列方程组:

                   

从此解出a,b,c，代入(1)式，即可得到的修正值.

[取五点滑动平均]  (即n=2)

                 

或用差分表示

                                      

[取七点滑动平均]   (即n=3)

       

或用差分表示

           

 

四、三次抛物线的滑动平均法

 

沿用第二段的记号，的修正值取为三次抛物线方程

                                                          (2)

式中系数a,b,c,d应使

                最小值

式中t取[0,m]中最靠近i的2n+1个整数值。当同时成立时，系数a,b,c,d满足下列方程组:

      

         

从此解出a,b,c,d，代入(2)式，即可得到的修正值。

[取五点滑动平均]  (即n=2)

         

或用差分表示

                     

[取七点滑动平均]  (即n=3)

      

或用差分表示