第一章代数、三角公式与初等代数

§2 基本单元与线性插值

一、基本单元与型函数

基本单元就是指边界平直的子区域，仅取其顶点作节点，并且只用待定函数值作为节点参数值。常用的几何形状是

一维的直线段（二节点）。

二维的三边形（三节点），四边形（四节点）。

三维的四面体（四节点），六面体（八节点）。

在这类单元上，插值函数是线性、双线性或三线性的多项式，即对各个坐标变量x,y或z来说都是一次的。

为明确起见,本节以P表示坐标为的变点,而以P_i表示节点。设单元有p个节点,其局部序号为,局部坐标为,而相应的整体直角坐标取作。这些坐标系都取右手系。

如果在基本单元内同样有p个多项式满足条件：

（i) p个多项式之和恒等于1，即

（8）

（ii) 任一在节点取值1，在其余p-1个节点取值0，即

（9）

则称为该单元的型函数。可以写成或的函数。

基本单元的型函数存在而且是线性（包括双线性、三线性）的。因此对于线性的插值函数，包括(看作坐标本身的线性函数)可表示为

（10）

（11）

二、直线段单元

[距离坐标] 设直线段二端点为,则线段上任一点P的距离坐标定义为

显然端点的距离坐标分别为(1,0),(0,1),且有

[型函数] 距离坐标(i=1,2)本身可取作型函数。它们与直角坐标之间的关系依(11)为

[坐标变换] 由于P在直线段上,所以坐标变量只有一个独立,假定取x;同样其距离坐标也只有一个独立,假定取。从上二式得

[线性插值函数]

三、三边形单元

[面积坐标] 设三边形的顶点为,则三边形的任一点P的面积坐标定义为

(i=1,2,3)

式中表示P与的对边构成的的面积,A为的面积，而分别表示P，到的距离。显然的面积坐标分别为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),且有

[型函数] 就是面积坐标,它们与直角坐标之间的线性关系式为

[坐标变换及其雅可比式] 由于P在平面上,所以只有两个坐标变量独立,假定取x,y;同样,面积坐标只有两个独立,假定取。从上二式可得

式中，

其绝对值等于单元面积A即。

雅可比式(即变换矩阵的行列式)为

逆变换矩阵为

[线性插值函数]

利用的循环性，以x,y为变量的型函数可写成

四、四边形单元

[双向距离坐标] 从四边形一顶点开始各在二邻边定义距离坐标;然后再在其对边沿同方向即同样定义距离坐标。把,以及具相同的距离坐标的变点联成直线段，构成一个局部坐标网。于是四边形的任意一点P是坐标网的一个结点,其局部坐标(ξ,η)可分别取，二线段的第二距离坐标（即）。这样,直角坐标系中的四边形与局部坐标系中的单元正方形(0≤ξ≤1,0≤η≤1）之间就建立一一对应(图19.3)。

[型函数] 对于单位正方形的显然可取,,它是双线性的,即对ξ或η都是线性的。由于顶点的局部坐标取值为1或0,型函数还可以统一写成

(i=1,2,3,4)

[坐标变换及其雅可比式]

雅可比式（即变换矩阵的行列式）为

逆变换矩阵为

它的元素是ξ,η的分式线性函数。

[双线性插值函数]

五、四面体单元

[体积坐标] 设四面体顶点为(i=1,2,3,4),则四面体的任一点P的体积坐标定义为

(i=1,2,3,4)

式中表示P与所对的底面三角形构成四面体的体积,V为四面体单元的体积,而分别表示P,到底面的距离。显然,的体积坐标除外,其余且有

(12)

[型函数] 就是体积坐标(i=1,2,3,4),它们与直角坐标之间的线性关系式为

(13)

[坐标变换及其雅可比式] 假定为独立变量,则由上(12),(13)得

式中

，，

其绝对值等于单元体积V即。

雅可比式（即变换矩阵的行列式）为

逆变换矩阵为

[线性插值函数]

由(12),(13)可直接求得

等式右端系数矩阵各元素可循环定义如下：

实际上不难看出，,…，只不过这里用三阶行列式代替X_i4等二阶行列式，便于循环定义,结果还是一致的。

六、六面体单元

[三向距离坐标] 设六面体的顶点为(i=1,2,…,8)(图19.5)。利用双向距离坐标,先把四边形变换到局部坐标系(ξ,η,ζ)的坐标面ζ=0上的单位正方形(0≤ξ≤1,0≤η≤1);再在线段上定义距离坐标,并取作(1-ζ,ζ), 的ζ分别为0与1。现在又对四边形利用双向距离坐标,把它变换到坐标面ζ=1上的单位正方形(0≤ξ≤1,0≤η≤1)。这就在四边形与分别同ζ=0与ζ=1上的单位正方形各点间建立一一对应。最后把上下四边形具同样局部坐标(ξ,η)的点联成线段,并沿方向(由下而上)定义距离坐标(1-ζ,ζ)。于是该线段上任意一点P的局部坐标可取为(ξ,η,ζ)。这样,直角坐标系中的任意六面体单元与局部坐标系中的单位立方体(0≤ξ≤1,0≤η≤1,0≤ζ≤1)之间就建立了一一对应。