§5弹性理论与有限元解法

§5 弹性理论与有限元解法

有限元法用来解弹性体的小变形问题是很有效的.这是由于变形能与外力势能或总势能可以表示为形式划一的二次泛函.由于弹性力学问题提法,特别是边界条件的复杂性,要使有限元解法灵活运用,还需要对各种问题作些分析与讨论.因此本节除了介绍各类问题与§1中B、D等有关的基本关系式外，还着重分析边界条件在有关变分问题中所起的作用，并讨论各类变分问题与微分方程定解问题的等价性。

一、三维的弹性问题

本节在直角坐标系(x,y,z)中讨论弹性体内部受力与形变的情况.为了简化论述,假设弹性体是单连通、均匀并各向同性的,必要时还用通常的矢量记号以突出其力学意义.

[应力与平衡方程] 弹性体在外力、温差等作用下，各部分之间将产生内力，表示内力的大小是作用面上受力的强度或单位面积所受的力,即所谓应力.对弹性体内的一点P,可在其邻近作一微元六面体，其棱边平行于坐标轴。六面体的六个面中有三个面其外法线方向分别与x轴、y轴或z轴同向（其余三个则与坐标轴反向）,可分别称为x,y,z坐标面(或第1,2,3坐标面).设分别表示作用于x,y,z坐标面的应力,并记的三个分量为(对其余三个面的应力取号相反.例如,图19.18上所示的分量全是正的),这九个分量(i,j=1,2,3) 构成一个张量,称为应力张量.

从图可看出,分量表示第i坐标面上的正应力(受拉取正,受压为负);而分量则表示沿第i坐标面剪应力的二分量(使扭角变成锐角的为正).由微元六面体力矩的平衡可得剪应力互等定律,即

= ()

因此应力张量是对称的,其分量只有六个是独立的.在有限元解法中,一般是把这六个分量按如下次序排成列矢量,并记作

设过点P作一任意的斜面,其法线n的方向余弦为(),则利用与三坐标面围成的四面体的平衡条件可得作用于该斜面的应力的三个分量

(j=1,2,3)

于是在方向余弦为()的直线上的投影,即其分量为

这表明,一个点的应力状态完全由该点的六个应力分量{s}所决定.例如,作用于上述斜面的正应力为

而沿该斜面的剪应力方向取,大小等于

反过来,对于的斜面称为P点的应力主面,相应的法线称为P点的应力主轴,而其正应力称为P点的主应力.可以证明,在弹性体内任意一点,一定存在三个互相正交的主应力,而且其中最大(小)的一个就是该点的极大(小)正应力.三个正应力之和

称为体积应力,它在坐标变换下是个不变量,因而等于三个主应力之和.

设,表示作用于P点的体力(单位体积的外力),对体积元素作积分或均值分析都可以推出力的平衡方程

(i=1,2,3) (26)

[应变与几何方程] 弹性体内任一点P(x,y,z)在小变形后移到其位移函数为

式中

它们是(x,y,z)的微量函数,假定有一微小线段PN=dr其方向余弦为(),经过小变形变为,则沿该方向的正应变定义为单位伸长,即

从变形前后的与dr关于位移的表达式不难得出

展开右端的根式并略去高阶无穷小量(即位移导数的高次项),就得到

设另一线段PM的方向余弦为(),变形前的夹角,则

(27)

设变形后的夹角(图19.19),则

根据变形前后两线段大小、方向的变化,不难得出

(28)

对照(27),(28)可知,只要在P点给定如下六个导数值:

(29)

就可以完全确定P点邻近的变形状态.表示沿第i坐标轴的正应变,表示经过小变形第i,j坐标方向之间的直角改变量即所谓剪应变(如图19.20所示,变形后成锐角为正,成钝角为负).这六个量称为应变分量,记作

同样可以证明,在弹性体内任意一点,一定存在互相正交的应变主轴,变形后三轴交角仍然保持直角,即剪应变为零;三主轴的正应变称为主应变,而且其中最大(小)的一个就是该点的极大(小)的正应变.三个正应变之和

称为体积应变,也是个不变量,而且表示微元中每单位体积的改变量.对于各向同性体来说,应力主轴与应变主轴的方向还是一致的.§1中所述的变形能密度

正是把坐标系变换到共同的主轴方向并应用虎克定律而推导出来的.

关系式(29)称为几何方程,其矩阵形式为

[物理方程与弹性系数] 对杆件作简单拉、压的小变形实验证明,单独的轴向(取为x轴)力不会引起剪应变,其正压力与正应变之间具有如下的线性关系

或

如果考虑到沿x方向的伸长还伴有侧向收缩,则产生沿y,z方向的正应变

或

这就是虎克定律,式中系数E,v分别称为弹性模数和泊松比.从胡克定律就可以推导出应变与应力之间的一般关系式,即所谓物理方程

式中称为剪切弹性模数.

从(30)求逆得出应力与应变之间的关系式

或写成矩阵形式:

式中与G称为拉梅系数,e就是体积应变.它与体积应力Θ成正比:

或

式中比例常数称为体积弹性模数.

[边界条件] 弹性体Ω的边界Ω'承受面力

有三种方式:固定支承,荷载支承和弹性支承.假定Ω'接受这三种支承的部分分别记作和,则其边界条件可表示为

1° 几何约束条件: 在上给定位移,即

2° 面力平衡条件: 在上给定荷载即面力q,()表示上任一面积元素的外法线方向余弦.由于应力要与面力平衡,从(27)可得其条件为

3° 耦合平衡条件: 在上弹性体与另一弹性结构耦合,这些耦合边界上的位移既不受约束也不完全自由,而是接受与其位移偏差(相对于某一给定的位移值)成正比的弹性反力.每单位面积上它的三个分量可表示为

这里弹性支承系数矩阵C=()是正定的,而可看作给定的面力.同样,这反力应由上的应力来平衡.于是其条件可写成

[外力势能及其计算公式] 弹性体内及其边界上,凡给定的外力因变形而作功的部分都要累加起来,再补上负号可看作弹性体相对于外力系统的势能,即所谓外力势能-F(u).例如在弹性体内部除体力f外,也可能有部分施加集中的面力、线力和点力，这些力与该部分的位移的内积就是它们所作的功，因此都要算进去。在边界上，除几何约束的部分外，施加在其余部分的外力,包括面力、线力和点力对外力势能都有贡献,也要引入公式.为了简化计算公式,同式(1)~(7)只列出体力f与面力q一样,这里也不考虑集中力的情况.

假定在弹性体Ω的边界的部分,和上分别施加几何约束、面力与弹性反力,则外力由于变形而作的功等于

取内积记号

式中C=()表示正定的弹性耦合系数矩阵,而-Cu就是因位移u而产生的弹性反力.于是,外力所作的功W可简写成

上式右边第三个积分是由于边界变形而产生的外功，它是u的二次泛函，因此改号后可看作弹性体变形能的一部分，于是总势能可写成

（32）

式中表示变形能,-F(u)表示外力势能,即

二、二维的弹性问题

本段只在直角坐标系中讨论平面应力、平面应变以及薄板弯曲等三个常见的问题。对于抗拉薄板,可以认为沿板厚方向的正应力与剪应力都等于零.一般以薄板的中面为xy面,可假定

只有沿xy平面的三个应力分量:和,而且它们与坐标z无关.这就是平面应力问题.反过来,分析相当长棱柱体(例如重力坝)在受到沿长度不变的外力作用下的变形,可以认为各点只有平行其横截面(取为xy平面)的位移(即w=0),而且其位移沿长度不变(即u,v与z无关),从几何方程可知

只有沿xy平面的和,而且与z无关,这就是平面应变问题.

分析薄板受横向荷载而引起的弯曲的情况,可以认为中面各点不作纵向位移,即当z=0时,u=v=0,而板的横向位移w不沿厚度变化,即w = w(x,y)与z无关.此外,由于沿板厚方向的正应力与剪应力虽不等于零,但远小于其他应力分量,对变形的影响可忽略不计,因此又有同平面应力问题一样的物理方程.

[平面应力问题] 作用于法线的方向余弦为()的截面上的应力分量为

1° 力的平衡方程

2° 边界条件假定边界接受固定支承,荷载支承和弹性支承的部分分别记作,则其边界条件可表示为

3° 几何方程

4° 物理方程

或

5° 矩阵B与D

注意,从物理方程(30)还推导出

它是单位板厚的改变量.

6° 总势能表达式形式上与(32)完全一样,只须注意这里是二维情况.

[平面应变问题] 力的平衡方程、边界条件、几何方程(因而矩阵B)以及总势能的表达式同平面应力问题一样.从和(30)可推出其物理方程

或

对照平面应力问题的物理方程看出,只要把其中的E,v分别改成,就得到平面应变问题的物理方程.这表示弹性系数为的材料的平面应力问题同弹性系数为的材料的平面应变问题是一致的.相应的矩阵D可写成

注意,从物理方程(30)还得出纵向的正压力

它是使棱柱体纵向无应变所应加于其两端的面力.

[薄板弯曲问题] 薄板的小变形可完全由中面(取作xy坐标平面)的挠度(即沿z方向的位移)w= w(x,y)来表示.也就是要得出板中面z=0变形后的弹性曲面z= w(x,y).这时板中面点(x,y,0)的法向线段,依假定只作刚性位移变到该曲面的法向线段(图19.22右),其方向数为。

因此,薄板中任一点(x,y,z)(,h为板的厚度)的位移分量可写成

这里略去了微量的高阶项.同样,我们可记变形后曲面的三个曲率分量的一阶近似为

而把几何方程写成

物理方程中主要的应力分量则可写成

这些分量与上述的应变分量成对地出现于变形能的积分式中,并含有的公因子.现在把中的z移到上并考虑如下积分

式中

称为板的抗弯刚度，而与就是同x,y轴正交的单宽截面上所受的弯矩与扭矩。

这些内力与应力之间显然有如下关系:

因此把称为广义应力,称为广义应变,而(33)就称为广义的胡克定律.如果记

则变形能可写成

式中表示薄板中面的区域.由于待定函数只有位移分量w(x,y), 于是可令

并把{k}=B w,{M}=D{k}代入(34),得到

积分式中出现位移函数w的二阶偏导数,与平面问题仅出现位移函数u,v的一阶偏导数有本质上的不同.

[弹性曲面与板的总势能]

1° 弹性曲面的微分方程在应力分量中,不但对变形影响较大,而且由它们所产生的弯矩、扭矩在把荷载传递到边界的作用中是基本的内力.但直接同外力平衡的内力却是其余的分量.因此,为了得出弹性曲面的形状,还要考虑到各应力分量 (j=1,2,3)与w之间的关系.

由于薄板的体力可忽略不计,根据应力平衡方程(26)与上下板面的边界条件,通过对z的积分可得

再代入(26)第三方程就能求出.一般地说,下板面悬空即无面力,于是依其边界条件:通过对z的积分可得

最后根据施加于上板面的荷载强度q(向下为正)的边界条件,并利用拉普拉斯算子的记号可得

这就是弹性曲面的四阶微分方程,式中d为板的抗弯刚度.为了求解w,还需要考虑沿薄板边缘(截面)的边界条件.

2° 板的边界条件为了统一表达式,设分别表示垂直于x,y轴的单宽截面上由所产生的切力

(35)

其次在中面区域的边界上作切线方向s与外法线方向n,使n,s与z轴构成右手的局部坐标系(参考图19.24),并设s,n的方向余弦分别为。

对比(33),(35)显然有平衡方程:

如果以表示作用于外法向为n的单宽边缘截面的切力,则得平衡方程:

式中

它们分别表示作用于边缘截面的正应力与剪应力所产生的单宽弯矩与扭矩.

薄板的各种边界条件基本上可分为以下三类:

(i) 几何约束

(a) 给定某部分边界的挠度:。例如固定边、简支边都要给定w=0。

(b) 给定边缘截面绕切向s的转角。例如固定边除w=0外,还要给定=0 。

(ii) 荷载支承

(a) 在单宽边界上给定横向的线力荷载p,它是由边缘截面上的切力和扭矩的切向变化率所产生的切力来平衡,即

(p朝z方向为正)

例如在自由边部分p=0,依上述公式左端包含w的三阶偏导数.

(b) 对单宽边缘截面给定绕切向s的力矩荷载即。例如在自由边部分同p一样，。

（iii) 弹性支承

(a) 除横向的线力荷载外还承受与挠度成正比的弹性反力-cw，其中c>0为弹性耦合系数，其条件可写成

(b) 除了力矩荷载外还承受与截面绕切向的转角成正比的弹性反力矩，其中>0也是弹性耦合系数。其条件可写成

注意，在同一边界上给定的二条件不能同样是（a）型或（b）型的。

3° 总势能的表达式给定的二条件假定在中面区域的边界上都是弹性支承，其平衡条件为

(c, >0)

变形能与外力势能的表达式可分别写成

如果在部分边界上分别给定挠度和绕切向s的转角，则在表达式的后面二线积分中应分别去掉与这些几何约束有关的积分线段。于是总势能可写成

当其他部分改为荷载支承时，只要把该部分的c或取零，表达式照旧。

三、一维的弹性问题

本段只讨论柱体的扭转问题，因为它是用扭转率作为广义应变的.其他问题如杆的伸缩、梁的弯曲等可看作二维问题的简化而且与有限元法关系不大,从略.

[圆柱的扭转] 圆柱的半径为R,圆柱的中心轴取作z轴,两端为z=0,z=l,体力不计.首先考虑只在两端截面受相反的力偶矩M(图19.24)而产生的扭转变形.一般可假定只有沿各横截面产生抗扭的剪应力而其余的分量

(i=1,2,3)

从物理方程可知它也是一种纯剪切变形。在圆截面上取极坐标也构成右手坐标系(图19.24) 对圆柱的扭转，还进一步假定

（i) ，即各圆截面无轴向位移；

（ii) 任一圆截面将绕圆心作微小的转动。

设转动角为ω(z),则ω(z)-ω(0)表示相对于端面z截面z=0的扭转角，而ω(l)-ω(0)就是柱体的总扭转角。一般可令ω(0)=0，即一端固定。

考虑半径为r在z与z+dz截面之间的环面,不难看出,由于相对扭转角dω而产生的直角改变量即剪应变

它是由环面上沿q 方向（或垂直于半径r）的剪应力作用的结果，依虎克定律

根据剪应力的对称性可得沿z截面的扭矩

式中就是截面对中心轴的惯矩。于是变形能可写成

因此，圆柱扭转问题的扭矩与扭转率可分别看作广义的剪应力与剪应变。系数称为柱体的抗扭刚度。对这问题，§1中B是微分算子，D是，待定函数就是广义的位移即扭转角ω(z)。

推广到一般情况。如果沿柱体每单位长度施加分布荷载即扭转，则平衡方程可写成

而其边界条件同样有三种支承形式：

（i) 几何约束对柱端截面给定扭转角ω。例如

（ii) 荷载支承对柱端截面施加一定的扭转。例如

或

（iii) 弹性支承在柱端截面给定与扭角偏差成正比的弹性反矩。例如

或

式中为弹性耦合系数。

总势能的表达式由于体力不计，对弹性支承的情况，变形能与外力势能可分别表示ω(z)的泛函形式：

若某端为荷载支承，可取该端，则表达式照旧；若某端（例如z=0）给定扭转角，则在上二式中含端点z=0的项都要去掉，而总势能的表达式可写成

[柱体的扭转] 同圆柱扭转一样，假定，体力与侧面的面力不计，只在两端施加力偶矩M，其扭矩的位移分量可写成

其中为扭转率，称为翘曲函数。

几何方程

物理方程

平衡方程从可得

其中为柱体截面。

边界条件设的边界的外法线的方向余弦为，由于柱侧面不受面力，从物理方程可得边界条件

根据，从平衡方程与边界条件可知其一般解的形式为（为任意常数）。a可由两端截面的力矩平衡条件来确定，例如从端面z=l的扭矩

可得出扭转率

于是，可看作位移，问题归结为求使总势能

达到极值的解。

四、与有限元解法有关的问题

在讨论空间与平面问题时,为简化起见,坐标(x,y,z)改用(),u仍表示位移列矢量,其三分量用()代替(u,v,w);对体力f等荷载仍用()表示其分量;对积分,除列式演算外,一般只用一个积分号表示.

[变形能的正定性与刚性位移] 弹性系数矩阵D是正定的,从变形能V=0可推出,即对应变来说它是正定的,但是对位移来说,它却退化为非负的,即不能由推出,因为弹性体还存在无应变的位移即刚性位移.

1° 一般空间问题设位移矢量场u的旋度rotu的分量为

它与位移分量以及应变分量之间的关系式为

因此,在小变形的假定下,应变表示整个弹性体除了作微小的位移外,还可作微小的转动,它的刚性位移可写成

式中表示平移的分量,表示绕三坐标轴的转角,它们都是任意微小的常量.总之,弹性体无应变的微小刚性位移共有六个自由度,设

则上式可简写成

式中就是第i坐标轴的单位矢量,就是绕第i坐标轴的旋臂矢量.于是

(i=1,2,3)

分别表示分布体力f对弹性体的合力与合力矩沿第i坐标轴方向的分量.对面力q等分布荷载也有类似的结果.

2° 平面应力、应变问题由于,刚性位移简化为

其自由度等于3.分布荷载与,的内积也有类似的定义与含意.

3° 薄板弯曲问题由于位移分量只有挠度,刚性位移可写成

(即）

其自由度等于3.内积

分别表示分布荷载q沿中面的合力以及绕轴的合力矩.

4° 圆柱扭转问题根据假定w=0与广义剪应变,即扭转率可得无应变的刚性位移为.相应的旋臂矢量为.这时,位移也可写成

(即 )

其自由度等于1.设在端面给定分布荷载切力Q(其分布,严格地说,应与剪应力相同),则内积就是沿端面的合力矩M.

[变分问题的可解性] 这里只讨论一般空间问题、薄板弯曲问题与圆柱扭转问题,其他问题类推.

一般空间问题先考虑边界纯荷载支承的情况.从§1可以看出,求解位移函数u使弹性体的总势能达到极小值,即

的变分问题可以归结为求解变分方程

(对一切）

的问题,其中位移u的变分力学上称为虚位移,而积分

称为虚功泛函,它是位移u和虚位移的双线性泛函.

上面已经指出,变形能只能得出是任意刚性的虚位移.反之,对一切非刚性的虚位移..因此利用等式

可以证明,变分问题有解的充分必要条件是

(对一切刚性的虚位移）

由于刚性位移的自由度为6, 又可分写为6个条件

这表明,要使弹性体在纯荷载支承下达到平衡状态的充分必要条件就是外力对整个弹性体所产生的合力与合力矩都等于零.

反过来,设变分问题有一解,则位移与任意微小的刚性位移之和+也是它的解,这表明弹性体的平衡状态可以相差一个微小的刚性位移,具有6个自由度.换句话说,解的一般形式可写成

如果边界上还有一部分受几何约束或弹性支承,则有解的充分必要条件的个数或自由度都会相应地减少,只要这部分边界条件使弹性体不可能有微小的刚性位移,则问题的解存在而且唯一.例如当u在部分边界上给定位移值时,变分方程改为

（对于)

只要包含不共线的三点,条件就排除一切刚性的虚位移,解存在的充分必要条件的个数等于零了.如果在部分边界上施加弹性支承,则从变形能

与二积分的正定性可得

而C的正定性又推出.因此,只要包含不共线的三点,那末变形能对位移u就是正定的,问题的解也就存在而且唯一.

2° 薄板弯曲问题考虑纯荷载支承的情况,其变形能与外力势能可用广义应变表示如下

变分问题

可归结为求解变分方程

(对一切虚位移)

同样[,]=0只能得出广义应变,刚性虚位移可表示为

其自由度等于3,而变分方程有解的充分必要条件是

(对一切刚性虚位移)

由于上式可分写为三个条件:

前一条件是沿板厚度方向的外力要取得平衡使板不产生移动;后二条件分别表示外力对板所产生的绕x,y轴方向的力矩要取得平衡,使板不产生转动.在这些条件下,板的平衡状态也不唯一而具有3个自由度,即问题的解可写成

如果边界上还有一部分受几何约束或弹性支承,则可解的充分必要条件的个数或自由度都会减少或等于零.例如,只要有不共线的三点给定挠度,或给定一点的挠度与两个绕不同方向的转角就使板不可能有微小的刚性位移,这时问题的解存在而且唯一.对部分边界施加弹性反力或反力矩也会提高变形能的正定性.例如在部分边界上给定弹性反力-cw与反力矩,则从可得Bwº0 与,即使只是一个点也减少两个自由度,如果有两个不同的外法线方向,则自由度为零.这时[w, w]对w是正定的,问题的解也就存在而且唯一.

3^o 圆柱扭转问题考虑纯荷载支承的情况,其变形能与外力势能可用广义位移(即扭转角)ω表示如下

变分问题

可归结为求解变分方程

(对一切)

同样, [,]=0只能得出扭转率.而刚性(广义)虚位移可表示为,其自由度等于1.变分方程有解的充分必要条件是

(对一切绕z轴的扭转角)

这表示沿整个柱面的扭矩要取得平衡.在这个条件下,圆柱的平衡状态可相差一微小的扭转角,即其解可写成

只要有一端受几何约束,自由度就消失;如果有一端(例如z=l)给予弹性支承,则相应的变形能(例如)对就是正定的了.对于这些情况,问题的解存在而且唯一

[变分问题与微分方程定解问题的等价性] 弹性体内部力的平衡方程是在平衡状态下对其微元进行均值分析而推导出来的;同样,其边界条件也是边界微元上内力与外力达到平衡的体现.因此,弹性力学中各种微分方程定解问题就是要找出弹性体因连续变形而产生的内、外力平衡状态.变分问题则是以整个弹性体的能量的形式来表达这种平衡状态,不论是用变形能泛函或虚功泛函,其实质是一样的.这里还要指出它与微分方程定解问题的等价性.下面仍以一般空间问题、薄板弯曲问题与圆柱扭转问题为范例作简单介绍.

1° 一般空间问题力的平衡方程

可以看作一组关于位移分量()的二阶微分方程,其边界条件仍按三种支承方式分别表达如下:

它们包含位移分量及其一阶偏导数.

现在从虚功泛函的形式出发,考虑如下的变分方程

（对)

对应用高斯公式进行分部积分可得

从和变分方程就得到在W内力的平衡方程和,上的边界条件.至于在上的几何约束条件由于在P(u)中没有反映出来,需要强加上去,即在解变分方程时,除了对变分加上条件外,还得要求其满足.反过来,以满足的变分乘上弹性体W内部力的平衡方程与上的边界条件并且作相应的积分,应用高斯公式显然也得出上述的变分方程.

薄板弯曲问题以中面的挠度w(x,y)为待定函数,弹性体内部力的平衡方程在推导过程已自行满足,而以上板面的边界条件作为w所满足的微分方程

对应的边界条件是由板的边缘截面内外力平衡来确定.由于支承方式的复杂性,下面先对纯弹性支承的情况的虚功泛函作分部积分得出一般形式,然后再来考虑其他支承对各项积分的影响.设

代以B,D及内力等表达式并分部积分,可以证明

式中为边界上沿s正向依序排成的拐点.

由于荷载支承可看作弹性支承的特例(即c或的情况),只要考虑在部分边界上分别给定挠度和转角:

(另一条件只能是弹性反力矩)

(另一条件只能是弹性反力)

(可以重迭)并在拐点有集中力(可以取零,特别当)的情况,这时相应的外力势能可写成

同样在变形能中应加上条件:

对照上述二式,可知变分问题:满足强加的条件

且使

(对)

的解w,是下面微分方程的定解问题的解:

反过来,这个问题的解w显然也是上述变分问题的解,因此它们是等价的.

圆柱扭转问题以柱体横截面的扭转角w(z)为待定函数,其广义力(即扭矩)的平衡方程为沿柱长的微分方程:

先考虑纯弹性支承的情况,其边界条件可写成

相应的虚功泛函与外力势能为

对前一式作分部积分,再对照后一式不难看出求解变分方程

（对一切）

的问题同上述二阶常微分方程的定解问题是等价的.端点受荷载支承的情况可看作其特例(即的情况).对于端点受几何约束的情况,只要把变分方程中与该端有关的各项去掉并对ω及改为强加条件,两个问题仍然等价.例如求满足及变分方程

的函数ω(z)的问题与下面微分方程的定解问题是等价的:

[热效应与热当量荷载] 在弹性问题中,弹性体由于受热引起各微元的胀缩,从而调整弹性体内部应力或应变的分布,这种作用称为热效应.设为零应变状态的温度分布;T为小变形后的温度分布,由于温升,弹性体将向周围作均匀的膨胀(或收缩,当).在任何直角坐标系中,其位移分量只与有关,即只有线应变而无剪应变(i¹j),而且在小变形假定下,它们与有线性关系: