§4 数论函数

 

    对任一正整数n有确定值的函数f(n)称为数论函数.

    [积性函数与完全积性函数]  (m,n)=1,f(mn)=f(m)f(n),则称数论函数f(n)为积性函数.若对任意正整数m,n都有f(mn)=f(m)f(n),则称f(n)为完全积性函数.

    积性函数具有下列性质:

    1°  f(n)为非零积性函数,f(1)=1.

    2°  g(n),h(n)都为积性函数,g(n)h(n)仍为积性函数.

也为积性函数,这里å是对n的所有不同因数d求和.

    3°  g(n)为非零积性函数,,

也为积性函数.

    4°  f(n)为积性函数,

f([m,n])f((m,n))=f(m)f(n)

式中(m,n)m,n的最大公因数,[m,n]m,n的最小公倍数.

    [麦比乌斯函数]  函数

称为麦比乌斯函数.

  麦比乌斯函数具有下列性质:

    1° 

    2°  μ(n)为积性函数,但非完全积性函数.

    3°  ,f(n)为积性函数,

也为积性函数.例如

    [欧拉函数]  n为自然数,(n)为不超过n且与n互素的正整数的个数,称为欧拉函数.

    欧拉函数具有下列性质:

    1°   (n)为积性函数,但非完全积性函数.

    2°  ,

特别,p为素数时,

    3° 

    4° 

    [除数函数]  自然数n的全部因数的个数称为除数函数,记作d(n).除数函数具有下列性质:

    1°  d(n) 为积性函数,但非完全积性函数,对任意自然数m,n,常有

    2°  ,

    [冯·曼哥特函数]  函数

L(n)

称为冯·曼哥特函数.L(n)非积性函数.

    [麦比乌斯反转公式与麦比乌斯变换]

    1°  反转公式一  ,又设h(k)为一非零完全积性函数.若对所有适合于h常有

则对上述h也常有

反之也真.

    2°  反转公式二  ,又设H(k)为一非零完全积性函数.若对所有适合于x常有

则对上述x也常有

反之也真.

    3°  反转公式三  为一正整数, 又设h(k)为一非零完全积性函数.若对所有常有

则对上述n也常有

反之也真.

    4°  麦比乌斯变换  n为正整数,

g(n)称为f(n)的麦比乌斯变换,f(n)称为g(n)的麦比乌斯逆变换.

    5°  乘积麦比乌斯变换  n为正整数,

                             

g(n)称为f(n)的乘积麦比乌斯变换,f(n)称为g(n)的乘积麦比乌斯逆变换.

    [麦比乌斯变换表]

                                                          

g(n)

f(n)

d(n)

                1

d(n)

1

n

n

L(n)

-logn

logn

L(n)