§2 序数与基数
集论除了为数学各分支提供共同的形式基础以外,它本身的主要成果是序数和基数的理论.序数和基数都是正整数的推广.在§1里介绍了与集有关的基本概念,但是没有接触到有限、无限、正整数的一般定义等等，这些都将在本节作严密的说明.
一、
排队（良序）集
[关系] 假定A是一个集，G
A
A，那末G称为A里的一个关系.如果<x，y>
G，那末称x与y有G这种关系.
[大小关系与分行(偏序)集] 假定G是集A里的一个关系，由<x，y>G和<y,z>G，必有<x，z>G，并且对任何xA,<x,x>
G,那末称G为A里的一个大小关系.假定<x,y>G，记作x<y.如果A里有一个大小关系,那末称A为一个分行(偏序)集.
[次序与单行集] 假定集A里有一个大小关系(<)满足条件:
(i) 对任何xA和yA,下列各式
x<y,x=y,y<x
一定有一个且只有一个成立，这里x=y表示x和y相同.
(ii) 对任何xA,yA和zA,如果x<y和y<z都成立,那末x<z成立.
那末称这关系是A里的一个次序,称A依这次序是单行集.
[排队集] 假定按照集A里的一个次序,A的任何一个非空子集都有最小的元素,那末称A按照这个次序排队,称A为排队(良序)集.如果A按照某个次序排队,那末A的任何一个子集也都按照这个次序排队.
[小头] 假定B是排队集A的一个子集,B的任何一个元素都比A\B的任何一个元素小,那末称B是A的一个小头(注意,A自己也是A的一个小头,因为A\A=φ,上面的假设自然成立).如果A\B¹
,那末称B为A的真小头.
[保持次序的变换]
假定一个变换把一个单行集(不一定是排队集)A一对一地变进一个单行集B,并且象源小的象也小,那末称这变换保持次序.可以证明,假定A和B都是不空的排队集,那末其中一定有一个集可以保持次序地变上另一个集的一个小头,并且这种变换是唯一的.
二、
序数
[序数]
如果集α满足条件:
(i) α的每个元素都是集;
(ii)
如果xα,yx,那末yα;
(iii)α可以用当作次序(就是把x<y理解为xy)排队.
那末称集α为序数.
序数是存在的,§1,一,集的例子中所述的0和1,2,3,4等正整数就都是序数,例如2={φ,{φ}}显然具备(i),(ii),(iii)这三个条件.
[后继序数]
假定α为序数,那末比α大的最小的序数称为α的后继序数.
[极限序数] 假定α为序数,如果α没有最大的元素,那末比α的所有元素都大的最小的序数称为极限序数.
[序数的性质]
1° 对任何序数α和β,式子
αβ,α=β,βα
一定有一个且只有一个成立.
2° 若α,β,γ都是序数,并且αβ,βγ,则αγ.
3° 若α和β都是序数,并且αβ,则α等于β的一个小头.
上述性质说明如果把看作<,任何序数α和β可以比较大小,而且小的序数既是大的序数的一个元素，又是大的序数的一个小头.
4° φ是最小的序数.
5° 任何一个序数α都有唯一的后继序数，如果把这个后继序数记作α+1，那末
α+1=α∪{α}
6° 一个序数α是所有比α小的序数的全体.如果α有最大的元素γ，那末α 就是γ的后继序数，不妨把γ记作α-1.如果α没有最大的元素，那末α不是任何序数的后继，这时α为极限序数.
7° 对任何一个序数集{αh|hH}，存在比所有αh都大的序数，当这个序数集没有最大的元素时，α=
就是比所有αh都大的最小的序数，α是一个极限序数；当这个序数集有最大的元素αk时，
，而比所有αh都大的最小序数是α=αk ∪{αk
}=()∪{αk}.
[布拉里-弗蒂怪异] 假定“所有序数的全体”是一个集，那末由性质7°，存在一个序数比这个集里所有序数都大，也就是有一个序数比所有序数都大，这个自相矛盾的结论就叫布拉里-弗蒂怪异.这是集论史上罗素怪异以外又一个著名的怪异.
从公理化集论来看，这无非说明“所有序数的全体”不是集.因此要避免牵涉到这个概念，至多只说“小于某个序数α的所有序数的全体”.
三、
正整数×超限序数×超限归纳法
[正整数]
假定n是一个后继序数，比n小的所有序数是零（φ）或后继序数，那末说n是一个正整数.
[有限序数与超限序数]
零或正整数称为有限序数.一个序数如果不是有限的，那末这种序数称为超限序数.
φ当作序数时，记作0.
[无限公理]
至少存在一个集A有下面的性质:(i)φA;(ii)xA必有x∪{x}A.
定理 所有有限序数的全体是一个集ω,ω是最小的超限序数.所有正整数全体也是一个集.
事实上,每个有限序数必定属于无限公理所说的那种集A.所以由划分公理得到定理的结论.
由这个定理知道,无限公理可以用下面的论点代替:“所有正整数全体是一个集”或者“所有有限序数的全体是一个集.”
[超限序数的例子]
ω,ω+1,ω+2,ω+3,×××
所有这些序数的全体显然是一个用ω当作标号集的集{xn|nω}，这里xn=ω+n，ω是所有有限序数的全体.因此存在一个比它们都大的最小的序数，这是一个极限序数，记作ω2.同样由序数集{ω2+n|nω}得到一个比所有ω2+n都大的极限序数ω3.于是得到下列序数：
0,ω,ω2,ω3,×××
比ωn这些序数都大的最小序数记作ω2=ωω.同样还得到ωn.比所有ωn（nω）都大的最小序数记作ωω.
同样道理，由ω,ωω,
,
,×××
得到一个比它们都大的最小的序数，记作e0.
还可以把比
e0,e0+1,
这些序数都大的最小的序数记作e1.对任何正整数n+1，用en+1表示比en+1,
都大的最小的序数.然后又把比e0,e1,e2,···都大的最小的序数记作eω.
用类似办法还可得到
因此得到序数
.当然还可得到
等等序数，不再多说.
上面是专门利用那些用ω当作标号集的序数族得到新的序数.其实，还可利用那些用任何序数α当作标号集的序数集来得到新的序数；当α是极限序数的时候，从序数族{eβ|β<α}可以得到一个比所有eβ(β<α)都大的最小的序数，这序数就可记作eα；当α是后继序数的时候，把eα定义为比下列这个用ω当标号集的序数族
{
}
的每个序数都大的最小的序数.
[数学归纳法] 假定ω是所有有限序数的全体，Aω.如果φA并且由nA可以推出n+1A，那末A=ω.
在实用上，A是当作使某个论点成立的所有有限序数的全体的.如果A满足上述数学归纳法的假设的话，那末A就是所有有限序数全体,所以，所有有限序数都使那个论点成立.
数学归纳法只针对特殊的序数ω.实际上对一般序数（特别是超限序数）α，类似的结论也是成立的，这就是超限归纳法.
[超限归纳法] 假定α是一个序数，Aa，如果φA，并且对任何一个βα，由所有比β小的序数γA可以推出βA，那末A=a.
超限归纳法显然可以用下面推论的形式表达，有时候应用这种形式比较方便：
推论 假定α是一个序数，φAÌα，那末存在序数β使
对所有的
成立，但是β
A.
四、
选择公理与排队定理
[选择公理与选择变换] 假定{Ah|hH}是一个集族，这里每个集Ah≠φ，那末存在一个定义在这集族里的变换f:对所有hH，
f（Ah）= xh Ah
变换f称为选择变换.
[排队公理]
一个集一定可以依一个次序排队.
注意，1o 一个不空的排队集可以保持次序地变上一个序数，这序数和这变换都由这排队集唯一决定，这序数称为这个排队集的序数.
2o 一个集A可以依不同的次序成不同的排队集，而且这种不同的排队集的序数也不同，例如，如果依照把有限序数全体只当作一个集，不依照原来的次序，而规定每一个偶数都比任何一个奇数小，而偶数和偶数或者奇数和奇数之间依照原来的次序，那末得到的排队集是
{0，2，4，×××，1，3，5，×××}
如果把它保持次序地变上一个序数的话，这个序数只能是
{0，1，2，×××,ω+1,ω+2,ω+3,×××}
也就是ω+ω=ω2，而不是原来的序数ω.
3o 由选择公理（还有其他公理）推出排队定理；反过来由排队定理也可以推出选择公理.所以也可把排队定理当公理，而把选择公理当定理.
[仓恩定理]
假定一个分行集A的任何一个单行子集都有上界（就是A的一个大于或者等于这个单行子集的每个元素的元素），那末A一定包含一个极大元素（就是没有任何别的元素大于它）.
定理 假设集论公理系统ZFC中除选择公理外，别的公理都成立，那末选择公理、排队定理、仓恩定理中任何一个和任何另外一个都是等价的.
五、
序数算术
利用超限归纳法规定序数的算术如下：
[加法] α+0=α，α+β=sup{α+γ|γ<β}
[乘法] α0=0,α(β+1)=αβ+α,αβ=sup{αγ|γ<β}
[方幂] α0=1, αβ+1=αβα, αβ=sup{αγ|γ<β}
注意，以上假设β是极限序数，加法和乘法都是不可交换的.例如
1+ω=sup{1+n|n<ω}=ω<ω+1
2ω=sup{2n|n<ω}=ω
但是ω2=ω(1+1)=ω+ω>ω.
[除法] 假定α和β是序数，β>0，那末存在唯一的序数x和唯一的序数h，h <β,使
α=βx +h
α为极限序数的充分必要条件是：α=ωx,这里x由α唯一决定；而α为有限序数的充分必要条件是α=ωx +n，这里x和正整数n都由α唯一决定.
六、
基数
[基数]
假定集A可以一对一地变上集B，那末记成
card(A)=card(B)
“card(A)”读作“A的基数”或势.
为了符合习惯，进一步把card(A)定义作“可以一对一地变上A的最小的序数”.这里不妨采用这个定义，不过要注意：1° 基数跟序数的算术不一样，所以尽管这样定义，但一般不用那个序数的记号来表示所说的基数，例如card（ω）不记作ω或其它的序数；2° 虽然由选择公理知道可以一对一变上集A的最小的序数存在并且唯一，但是并非所有关于基数的基本原理都跟选择公理有关系，下面的定理就是例子.
假定集A可以一对一地变进集B，那末记成
card(A)≤card(B)
特别，当card(A)≤card(B)而card(A)≠card(B)时，记作
card(A)<card(B)
上面规定了基数间的大小如何比较，但这只是表面的，要等建立了下面的定理以后才能说明这样规定是合理的.
[康托-伯恩斯坦定理] 假定card(A)≤card(B) ,card(B)≤card(A)
那末
card(A)=card(B)
推论
1° 对任何集A和集B，下列式子
card(A)<card(B),card(A)=card(B)
card(B)<card(A)
一定有一个且只有一个成立.
2° 假定 card(A)<card(B),card(B)<card(C),那末
card(A)<card(C)
[康托定理] 假定A不是空集，那末
card(A)<card(
)
[有限基数与有限集] 一个有限序数的基数称为有限基数.如果card（A）是有限基数，那末称A为有限集.
定理 假定h和k是有限序数，h<k，那末
card(h)<card(k)
由这个定理看到，所有有限基数的全体可以保持次序地变上所有有限序数的全体ω.由于这个缘故，假定n是一个有限序数，那末可以用n来代表card（n），也就是记成
card（n）=n
这样一来，正整数和零不仅是有限序数，而且是有限基数，并且当作基数来看，它们之间大小关系仍旧保持.
[超限基数]
任何一个基数总是某个序数的基数.有限序数的基数是有限基数，超限序数的基数一定不是有限基数，称为超限基数.
大的基数必定是大的序数的基数.因此超限基数的全体是一个排队集.所以可以把比某个超限基数小的所有超限基数用序数当作下标从小到大排队：
其中
就是最小的超限基数card（ω）.“
”读作“阿勒夫”.
由上面说明知道，任何一个基数都可以表示
，这里α是某个序数，并且是比所有
(β<α)大的最小的基数.反过来，对任何序数α，这样的都存在.因为假定
存在，那末
一定存在，因为总有基数比大，于是由排队集的性质知道存在比大的最小的基数，于是由数学归纳法知道，对任何正整数n，
存在.
对一般序数α可以用超限归纳法证明，因为假定对于比序数β小的每个序数δ，
存在，那末存在序数γδ，使card(γδ)= 比所有这些γδ都大的序数存在，随便取一个记作γ，那末card(
)>card(γ)≥card(γδ)= .所以比所有的都大的基数存在.因此由排队集的性质知道存在比所有的都大的最小的基数，这个最小的基数就是.因此由超限归纳法知道，对任何序数α, 存在.
[可数集与不可数集] 
称为可数无限集的基数，因为=card（ω），凡是当基数的集一定可以一对一地变上ω（也就是零和所有正整数全体）.有限集和可数无限集都称为可数集.
由康托定理
（非空集的所有子集的全体的集的基数），所以基数等于
的集是不可数的. 
正好是所有实数全体（连续域）的基数，这是因为实数全体就是二进位小数全体.但是究竟是那一个超限基数呢？康托猜测是最小的不可数的基数，这就是下面著名的
[连续域假设] 
[广义连续域假设] 
对任何序数α成立.
连续域假设对不对？这问题曾经长期得不到答案，三十年代末发现了意外的结果：如果集论的公理系统本身没有矛盾，那末连续域假设跟这个公理系统是不矛盾的.以后又进一步证明连续域假设的否定（非）（就是
）跟这个公理系统也是不矛盾的.这就是说，连续域假设对不对是不可解的（从现有公理系统来看）.由于实数在数学中的重要意义，这个问题不可解说明集论公理不完备.
七、
基数算术
[公式]
假定A和B是集，A∩B≠φ，那末规定
card(A)+card(B)=card(Α∪B)
card(A)card(B)=card(AB)
card(B)card(Α)=card(AB)
基数的加法和乘法都是可以交换的.
定理
推论
1° 
（n为正整数）
2° 
3° 
[几个特殊数集*的基数计算]
1°
所有整数全体的基数等于.这是因为
card（所有整数全体）=card（所有正整数全体）
+card（所有负整数全体）+card（{0}）
=
2° 所有有理数全体的基数等于.因为每个有理数是一对整数的商，所以所有有理数全体的基数不超过所有整数对全体的基数，所以所有有理数全体的基数不超过.但是整数可以看作有理数的特例，这基数又不小于.所以所有有理数全体的基数等于.
* 这段中的数集的数都是按通常意义下定义的，见第一章，§1，一.
3° 所有无理数全体的基数等于.否则所有实数全体的基数不会等于.
4° 所有实代数数（整系数代数方程的根）全体的基数等于.这是因为只有可数无限多个不同的整系数代数方程，而每个方程只有有限个根.
5° 所有实超越数（不是代数数的实数）全体的基数等于.
6° 复数全体的基数等于
.这是因为一个复数是一个实数对.
[康托三分集] 把闭区间[0，1]里的所有实数表示成三进位无限小数*.各位数字都不是1的那些三进位无限小数全体记作T，那末T称为康托三分集.从几何上看，把T0=[0，1]等分成三段，去掉中间一段，剩下的部分[0，
]∪[
，1]记作T1.又把[0，]和[，1]各等分为三段，去掉中间一段，剩下的部分
记作T2.继续下去得到一个集族{ Tn|nω}，这族集的通集就是
.
把T里每个数用2除，就得二进位无限小数全体，因此card（T）=.