§ 4
尺度空间与一致空间
一、 尺度空间
[尺度、距离与尺度空间] 假定D是一个集,j是一个把D´D变进R1的变换,如果对于所有的xD,yD,zD,满足条件:
(i) j(x,y)³0,等号只当x=y时成立,这里j(x,y)=j(<x,y>);
(ii) j(x,y)=j(y,x);
(iii) j(x,y)+j(y,z)³j(x,z).
那末称j为D的一个尺度,j(x,y)是在j这个尺度下x和y的距离,D是以j为尺度的尺度空间(距离空间).
如果条件(i)中不附加“等号只当x=y时成立”,其余(ii),(iii)相同,那末称j为D的一个拟尺度.
[尺度空间的拓扑] 假定j是集D的一个尺度,对一点aD和一个实数r,把{x|j(x,a)<r}(当r0时它表示空集)称为以a为球心r为半径的开球.所有开球全体所繁殖的拓扑称为D的尺度拓扑.实际上,所有开球的全体是这个拓扑的一个基.以后如果没有另外声明,凡是尺度空间都假定是以这个尺度拓扑为拓扑的拓扑空间.
假定a是尺度空间里的一点,那末所有以a为球心,把有理数作为半径的开球的全体是a的一个邻域基.所以尺度空间一定是第一可数空间.此外也不难看到,尺度空间一定是T2空间.
[尺度化与尺度化定理]
假定一个拓扑空间X的承载点集有一个尺度,由这尺度得到的拓扑跟X原有的拓扑相等,那末称X可以尺度化.
假定Φ是拓扑空间X里的一族点集的全体.如果X里每一点都有一个邻域至多只跟有限个属于Φ的点集有公共点,那末称Φ是局部有限的;特别如果任何两个属于Φ的点集的包都没有公共点,那末称Φ是绝缘的.
定理 一个拓扑空间X可以尺度化的充分必要条件是:X为T3空间并且X的拓扑有一个基是可数个局部有限族的和集(这里“局部有限”可以改作“绝缘”, T3也可以改作T4).
[n维欧氏空间与直角坐标法] 假定X是一个以j为尺度的尺度空间,又假定存在一个把X变上n维实数空间Rn的一对一变换f,使对X里任何两点x和y,
成立,这里,那末称X为n维欧几里得空间,简称n维欧氏空间,记作En,f是En的一个直角坐标法,称为点x的直角坐标,称为这直角坐标法下的原点.
E n的直角坐标法存在但是不唯一.假定f和都是E n的直角坐标法,f '(Of)=<b1 ,×××,bn>,而E n里任何一点x在f和f '下的坐标分别记作<x1 ,×××,xn>和<x1 ',×××,xn' >,那末由于
得到
这里(ahk)是一个n´n正交矩阵.
反过来,只要(ahk)是任何一个n´n正交矩阵,b1,×××, bn是任何n个实数,那末上面这组方程就代表了一个新的直角坐标法.所以直角坐标法是无限多的,而不同的直角坐标法间的变换就是通常所谓“转轴”、“移轴”的组合.
此外,En的一个直角坐标法f实际上是把En变上Rn的一个拓扑变换,因此En里的一个开球在f下的象是Rn里的一族n维区间的和集,反过来,Rn里一个n维区间的象源是En里的开球的和集.
因此在Rn里可以定一个尺度,使它成为En.这同时也就证明了n维欧氏空间的存在.
[空间的完备化] 假定X是一个以j为尺度的尺度空间.如果<xn|nω>是X里的一个点列,对任何正数e ,总存在一个正整数N,使
j(xn, xm)<e
对比N大的一切正整数n和m都成立,那末称<xn|nω>是X里的柯西列.
一个尺度空间里的任何一个收敛点列一定是柯西列,但是一个柯西列未必收敛.例如,把所有的有理数全体S看作一维实数空间R1的子空间的话,那末S里的柯西列就可能不收敛(因为它的极限可能是无理数).
如果一个尺度空间X里的任何柯西列都收敛,那末称X完备.
假定X和X'都是尺度空间,X'完备,又假定存在一个把X等尺度同胚地变进X'的变换f,并且X的象f(X)在X'里处处稠密,那末称X'为X的完备化.
定理 任何一个尺度空间都有完备化,并且任何两个完备化等尺度同胚.
只要把尺度空间里一个柯西列看作一个元素,适当规定两个柯西列的距离(距离等于零时,认为两个元素是相同的)不难证明所有这些元素全体就是一个完备化.
把两个实数的差的绝对值看作这两个实数的距离,那末一维实数空间R1就是所有的有理数全体的完备化.可以用这个办法来建立无理数的概念.
柯西列当然可以推广成柯西网.不过由于尺度空间满足第一可数公理,用柯西网概念只能得到同样的完备化.
[有界变换族的一致收敛拓扑] 假定A是一个集,Y是一个尺度空间,把A变进Y
的所有有界变换(把A变进一个开球的变换称为有界变换)的全体记作F.在F里规定距离如下:设fF,gF,则它们的距离
J(f,g)= j(f(x),g(x))
这里j表示Y里的尺度.由J所产生的F的尺度拓扑称为F的一致收敛拓扑.
注意,F的一致收敛拓扑只用Y的尺度定义,没有牵涉到A的拓扑.
定理 有界变换族F的一致收敛拓扑跟其他拓扑比较起来其特点是:在这拓扑下,F里任何一个点网<fp|pQ>收敛的充分必要条件是:对所有的xA, <fp(x)|pQ>在A里一致收敛(也就是对任何正数e ,存在一个qQ,是对所有的xA和Q里所有的p>q,
j(fp(x),fq(x))<e
成立).
F可以看作AY的子集.因此AY 的点点收敛拓扑在F里有诱导拓扑,不妨称为F的点点收敛拓扑,因为同样是用“点点收敛”当收敛的.比较起来,一致收敛拓扑比点点收敛拓扑细.因为在一致收敛拓扑下,对每一点fF,所有的集{g|对所有的xA, j(g(x),f(x))<e}(e 是一个任意正数)构成一个邻域基.而在点点收敛拓扑下,对每个fF,所有的集{g|存在有限个xA使j(g(x),f(x))<e }构成一个邻域基.后一个邻域基里的每一个集显然都掩盖前一个邻域基里的一个集,但是倒过来说不行.
二、 一致空间
[复合关系与逆关系]
假设X是一个集,u和是X里的两个关系(即是uX´X,vX´X),规定
u={<x,y>|xX,yX,并且存在zX,使
<x,z>u并且<z,y>}
u当然也是X里的一个关系,称为u和的复合关系.
再规定
u -1 ={<x,y>|<y,x>u},
那末u -1也是X里的一个关系,称为u的逆关系.
容易证明
(u)-1= V -1 u -1
[一致空间]
假定X是一个集,U是X里的一个不空的关系族(即U¹φ并且UÍX´X2),并且满足条件:
(i) 若uU,则对任何xX,<x,x>u;
(ii) 若uU,则存在U,使u;
(iii) 若uU,则u∩U;
(iv) 若uU,uX´X,则U;
(v) 若uU,则u-1U .
那末称U为X的一个一致性,<X,U>称为一致空间(有时称X是在U这个一致性下的一致空间).
把满足条件(i)—(iv)的U称为X的一个拟一致性,对应的<X,U>称为拟一致空间.
如果U和U'是集X的两个一致性,UU',那末称U比U'粗,U'比U细.
假定集X里有一个不空的关系族V,满足定义所说条件(i)和(ii),那末X的所有掩盖V的一致性的通集U0也是一个一致性,是能掩盖V的最粗的一致性,称为V所繁殖的一致性,V称为U0的一个亚基*.假定V是一致性U0的亚基,并且对任何uU0存在V使u,那末称V为U0的一个基.
对任何一个集X,由{{<x,x>|xX}}所繁殖的一致性是最细的一致性.
尺度空间可以看作一致空间的特例:假定X是一个尺度空间,把X里的关系族{{<x,y>|x和y的距离小于γ}|γ是一个正数}所繁殖的一致性称为由X的尺度产生的一致性.通常除特别声明外,一个尺度空间X总是看作在这个一致性下的一致空间.实际上,上面“γ是一个正数”的条件可以改作“γ是一个正有理数”(由于一致性的条件(iv)),所以由尺度产生的一致性一定有可数的基.
[一致拓扑与一致空间的尺度化] 假定<X,U>是一个一致空间.对xX,uU,把{y|<x,y>u}记作u[x],称为x的一个邻域.由所有这种邻域所繁殖的拓扑称为X的一致拓扑.以后如果不另外声明,一个一致空间X总是看作在一致拓扑下的拓扑空间.
如果在一个一致空间里可以规定一个尺度,由这尺度产生的一致性跟原来的一致性相同,那末称这一致空间是可以尺度化.
一个一致空间可以尺度化的充分必要条件是:它的一致性有可数的基,并且它是T2空间.一个一致空间可以拟尺度化的充分必要条件是:它的一致性有可数的基.
[一致连续与一致同构变换] 假定<X,U>和<Y,V>是两个一致空间,f是一个把X变进Y的变换,如果对任何V,总存在uU,使对所有的<x,y>u,<f(x),f(y)>成立,那末称f为一致连续.一致连续必定连续,但是在一致拓扑下连续不一定一致连续.
一个变上的可逆一致连续变换称为一致同构变换.一致同构变换一定是同胚变换,但是反过来说不一定对.
[一致收敛] 假定<Y,V>是一个一致空间,X是一个集,又假定<fp|pQ>是XY里的一个点网,f XY
,如果对任何V,存在一个qQ使对所有的p>q和所有的xX,
<fp(x),f(x)>V
成立,那末称<fp|pQ>一致收敛于f.
假定<Y,V>是一致空间,X是一个集,那末还可以对XY 规定一个一致收敛的一致性如下:对任何V,可以得到XY 里的一个关系w
w ={<f,g>|对所有的x XX,<f(x),g(x)>成立}.
所有这些w的全体所繁殖的一致性称为XY 的一致收敛的一致性.由这一致性所产生的拓扑称为XY 的一致收敛拓扑.可以看到,XY 里的一个点网一致收敛就是在一致收敛拓扑下收敛的意思.