§5 紧致点集与联结点集

一、 紧致点集

[紧致点集及其性质] 假定S是一个拓扑空间里的一个点集，S的任何一个合盖开集族都一定有有限合盖子族，那末称S为紧致点集，或称S紧致.

紧致点集具有性质：

1° 紧致点集在连续变换下的象是紧致的.

2° 一个拓扑空间里的点集S紧致的充分必要条件是：S的任何一个无限子集Q都至少有一个聚点x₀S，并且对x₀的任何邻域G，

card(G∩Q)=card(Q)

(card的定义见§2).

3° 一个拓扑空间里的点集S紧致的充分必要条件是：S里任何一个点网都有子网收敛于一点x₀S .

4° 紧致点集的相对闭集紧致.

5° T₂空间里的紧致点集为闭.

6° 正则空间里的紧致点集的包紧致.

7° 尺度空间里的点集S紧致的充分必要条件是：S全有界（即对任何正数r，S总能被有限个半径等于r的开球所合盖）并且完备.特别n维欧氏空间Eⁿ里的点集S紧致的充分必要条件是：S有界并且闭.

8° 一个分散点集S紧致的充分必要条件是：S有限.

9° 一个拓扑空间里的点集S紧致的充分必要条件是：S的任何一族有限相交（即族里任何有限个集的通集都不空）的相对闭集的通集不空.

10^o 康托定理 假定<B_n|nω>是紧致点集S的不空的相对闭集，每个B_nÉ B_n+1,(n=0，1，×××）那末.

11^o 吉洪诺夫定理 一族紧致空间的拓扑乘积紧致.

[变换族的紧致-开拓扑] 假定X和Y是两个拓扑空间.在叠集^XY（所有把X变进Y的变换全体）里造一个拓扑如下：对Y里任何一个开集V，X里任何一个紧致集K，所有把K变进V的变换全体W（K，V）规定为^XY 里的一个开集，并且从所有这种开集W（K，V）繁殖一个拓扑.这拓扑称为^XY 的紧致-开拓扑.

1° 假定X是一个拓扑空间，Y是一个尺度空间，那末对属于^XY 的所有连续变换的全体C来说，跟^XY 别的拓扑比起来，紧致-开拓扑的特点是：任何一个连续变换网<f_p|pQ>收敛的充分必要条件是：对X里任何一个紧致集，<f_p(x)|pQ>在K里一致收敛.

因此，所有连续变换的全体C在^XY 的紧致-开拓扑下是闭集.

1°中“Y是尺度空间”可以改做“Y是一致空间”.

2° 阿斯可里定理 假定X是一个正则局部紧致空间*，Y是一个以j为尺度的尺度空间，C表示所有把X变进Y的连续变换的全体.那末C的一个子族F在^XY 的紧致-开拓扑下紧致的充分必要条件是：

(i) F是C的相对闭集；

(ii) 对X里每一点x，x在所有属于F的变换下的象的全体的包是Y里的紧致集；

(iii) F同等连续（即假定x₀是X里的一点，如果对任何正数e，总存在一个x₀的邻域V，使对任何xV和任何fF，都有j（f（x），f（x₀））<e）.

定理中“Y是一个尺度空间”可以改为“Y是一个T₂一致空间”.

[紧致化] 假定X是一个拓扑空间，X*是一个紧致空间.如果存在一个同胚变换f把X变进X*，并且f（X）在X*里处处稠密，那末称X*（或称<f , X*>）是X的一个紧致化.这时候，往往把X和f（X）混同起来，于是把X看成X*的子集.

1° 单点紧致化 假定X是一个拓扑空间，X的承载点集记作D.随便把一个不属于D的事物记作∞.用D∪{∞}的下列两种子集的全体当拓扑亚基：（i）X里的开集，（ii）X里任何一个紧致闭集在D∪{∞}里的余集.由这个亚基得到D∪{∞}的一个拓扑τ*.拓扑空间X*=< D∪{∞},τ*>是一个紧致空间.在恒等变换下，X同胚地变进X*并且X在X*里处处稠密，因此X*是X的一个紧致化，称为X的单点紧致化，∞称为X*里的无限远点.

一维复数空间C¹的单点紧致化称为复数球面.

一维实数空间R¹的单点紧致化跟圆周同胚.

2° 广一维实数空间 随便把两个不是实数的东西（如{{{φ}}}和{{φ}}）记作∞和

-∞，在R¹∪{∞}∪{-∞}里把所有下列点集的全体当拓扑亚基：（i）R¹里的开集，（ii）（a,∞）∪{∞}，（iii）（-∞,b）∪{-∞}.用这个拓扑亚基所繁殖的拓扑当拓扑，R¹∪{∞}∪{-∞}是一个紧致空间，称为广一维实数空间，是在恒等变换f({ x=f(x)|x R¹ })下的R¹的一个紧致化.

在广一维实数空间里，∞是任何一个无上界的实数集合的聚点.假如f是把一个无上界的实数集S变进一拓扑空间的变换，那末由于∞是S的一个聚点，的意义就包括在§3，四的极限定义中了.

二、 联结点集

[联结点集×区域×连续域] 假定一个拓扑空间里的点集不是两个没有公共点的不空的相对闭集的和集，那末称它为一个联结点集.联结的开集称为区域.不止包含一点的联结的闭集称为连续域.

注意，在§2，六里“连续域假设”指的是一维实数空间R¹里的连续域.

在上面联结点集的定义中，“相对闭集”显然也可以改为“相对开集”.

联结点集的定义也可以改为“没有不空的相对既开又闭的真子集的点集”.

[联结点集的性质]

1° 联结点集在连续变换下的象联结.

2° 如果S是联结点集，A，那末S∪A联结.特别，联结点集S的包联结.

3° 如果一族联结点集的通集不空，那末这族联结点集的和联结.

4° 一维实数空间R¹里的联结点集只有下列九种：R¹自己，（a，b），（a，b]，[a,b),[a，b]，（a，∞),[a,∞),(-∞,b),(-∞,b,这里a和b表示任意实数.

性质1°可以看作微分学中下述定理的推广：假定f是一个区间里的连续实函数，取到两个数值a和b，那末一定取到a和b间的任何一个数值.

[用线联结的点集] 实数闭区间[a，b]有一个变进一个拓扑空间X的连续变换下的象称为这空间X里的一条曲线.如果一个拓扑空间里的一个点集里的任何两点都属于这点集的一条子曲线，那末称这点集是用线联结的.

用线联结的点集联结.

[局部联结与局部用线联结] 拓扑空间里的一个点集，如果它的任何一点的任何一个相对邻域一定掩盖这一点的一个联结的相对邻域，那末称这个点集局部联结.如果“联结”换作“用线联结”，那末称这点集局部用线联结.

例如n维欧氏空间Eⁿ里任何一个开集都是局部用线联结的，这是因为任何一个开球都是用线联结的.

一个局部用线联结的点集联结的充分必要条件是：它用线联结.特别里的开集是区域的充分必要条件是：它用线联结.

[独立片与全不联结] 假定拓扑空间里一个点集的一个子集联结并且不是别的联结子集的真子集，那末称这子集为这点集的一个独立片.

拓扑空间的一个点集是它的所有独立片的和集，每个独立片都是相对闭集，任何两个不同的独立片没有公共点.特别，开集的每个独立片都是区域，所以是相对既开又闭的子集.开集是一族两两没有公共点的区域的和集.闭集的每个不止包含一点的独立片是连续域，闭集是一族两两没有公共点的联结闭集的和集.

注意，无限个两两没有公共点的联结闭集的和集不一定是闭集.

假定一个拓扑空间里的一个点集的每个独立片都只包含一点，那末称这点集全不联结.例如R¹里的有理数全体和无理数全体都是全不联结的.

§ 6 流 形

[n维实流形] 假定M是T₂联结空间，M有一个合盖开集族S，对每个开集VS，存在一个拓扑变换f_V把V变上一个n维区间，那末称{ f_V|VS }为M的一个n维实流形结构，称M是一个n维实流形.

[局部坐标法] 假定{ f_V|VS }是流形M的一个流形结构，那末称每个VS是坐标区域.每个f_V 是V里的局部坐标法，对每点xV，

称为x的坐标，实数x_k（k=1,××× ,n）称为x的第k个坐标.

[衔接关系] 假定VS，V'S，V∩V'¹φ ，那末每一点xV∩V'在f_V 和f_V' 这两个局部坐标法下各有坐标和，它们的关系可表示为

（1）

由流形的定义，是把f_V（V∩V'）变上f_V'（V∩V'）的拓扑变换，称为从局部坐标法f_V 到局部坐标法f_V' 的衔接关系.

[微分结构与微分流形] 假定{ f_V |VS }是流形M的一个流形结构，是从f_V 到f_V' 的衔接关系. 的表达式（1）可以改写为方程组

（2）

如果（2）中各个函数在f_V（V∩V'）里关于实变数x₁,×××,x_n的1到m各阶偏导数都存在并且连续，那末称是m级可连续微分的.如果每个的各阶偏导数在f_V（V∩V'）里都存在（因此都连续），那末称是∞级可连续微分的.如果每个在f_V（V∩V'）里解析（即在每点<x₁⁰,×××,x_n⁰>（f_V（V∩V'））的一个邻域里,( x₁,×××,x_n)都可以展开成n个实变数的幂级数），那末称是解析的或者ω级可连续微分的.

如果一个流形结构{ f_V|VS }的所有衔接关系都是m级可连续微分的（因此都是可逆m级可连续微分的），那末称它为m级微分结构.如果一个流形结构的所有衔接关系都是∞级可连续微分的，那末称它为∞级微分结构.如果一个流形结构的所有衔接关系都是解析的，那末称它为解析结构.

假定一个实流形M的一个流形结构{ f_V|VS }是m阶微分结构或者∞级微分结构或者实解析结构，那末分别说M是这结构下的m级微分流形或者∞级微分流形或者实解析流形.

[微分结构的等价] 假定{ f_V|VS }是流形M的一个m级微分结构.又假定G是M里的一个开集，f是在G里定义的一个函数.对每一点xG∩V（VS），f（x）可以表示为

f（x）=（）

假定关于这n个实变数的1到k（0km）各阶偏导数都连续，那末称f在G∩V里可k级连续微分.如果f在每个G∩V（VS）里都可k级连续微分，那末称f在G里可k级连续微分，记作fC_k（G），由于{ f_V|VS }的所有衔接关系都可m级连续微分，并且假设0km，上面这样的定义对任何xV∩V'（VS, V'S）都不会产生矛盾.

设{ f_V|VS }和{ f_W|Wπ }是流形M的两个m级微分结构（其中π 也是M的一个合盖开集族）.如果{ f_V|VS }∪{ f_W|Wπ }是M的一个m级微分结构，那末称{ f_V|VS }和{ f_W|Wπ }等价.流形M的两个m级微分结构等价的充分必要条件是：对M里任何开集G，它们所决定的各个函数族C_k（G）(k=0，1，×××，m）一致.

流形M的两个∞级微分结构等价或两个实解析结构等价的概念也可类似地定义.

[可定向流形] 假定n维实数空间里的一点的一个邻域被一个拓扑变换f变上一点的一个邻域，即f（）=.如果f可逆连续微分，并且雅可比式

那末称f在这一点保持架势.

如果f不可微分，用差商（见第五章）代替偏导数同样可规定f在一点保持架势.

假定流形M有一个流形结构，它的任何一个衔接关系都在各自的定义开集里的每一点保持架势，那末称这流形结构是一个定向流形结构，称流形M被它定了向.

假定{ f_V|VS }和{ f_W|Wπ }是流形M的两个定向结构，而{ f_V|VS }∪{ f_W|Wπ }也是M的一个定向结构，那末称它们定的向一致.

假定{ f_V|VS }是流形M的一个定向结构，又假定

f_V（x）= xV

那末

g_V（x）= xV

是另一个定向结构{ g_V|VS }.显然{ f_V|VS }∪{ g_V|VS }不再是定向结构.那末称{ f_V|VS }和{ g_V|VS }定的向相反.

因此，如果流形M有一个定向结构，那末M有两类定向结构，同一类的结构定的向相同，不同类定的向相反.所以在未指定那一类定向结构的时候，只说有定向结构的流形M是可定向的.

可以证明，可定向流形的任何一个流形结构只要象上面规定g_V那样修改一部分局部坐标法，就可以成为一个定向结构，定的向可以跟这一类定向结构一致，也可以跟另一类的一致.

因此，一个可定向的微分流形的微分结构虽然不都是定向的，但是每个微分结构等价类中，一定包含两种定向结构，定的向彼此相反.

不可定向的流形最简单的例子是“麦比乌斯（Möbius）带”，它是一个单侧曲面，它的模型可以用下面方法得到，把一个长方形的纸 扭转180°，把两边ad和cb粘起来，a与c重合，b与d重合.

[复解析流形] 把二维实数空间R²里的点<x₁, x₂>改记作复数x₁+ix₂，就得到一维复数空间C¹，C¹就是R²的普通拓扑当拓扑.R²的普通拓扑可以用二维区间全体当基，也可以用开圆全体当基.在C¹里为了记号方便，用后者当基比较常见.一个以复数z₀为中心的开圆可以表示为{z|zC¹且|z－z₀|<r}，这里半径r是一个正数. n个C¹的拓扑乘积称为n维复数空间Cⁿ，Cⁿ的拓扑的一个基是n个C¹里的开圆的直接积的全体，n个开圆的直接积称为n重柱.

在流形的定义中，如果把“n维区间”改作“n重柱”，就成为“复流形”的定义.

复流形的复解析结构跟实流形的实解析结构同样定义.特别，一维复解析流形称为黎曼面，是复变函数论的一个重要概念（见第十章）.

[存在定理]

定理1 有的流形不可能有一级微分结构.

注意，当mm'1时，由定义，m级微分结构必定是m'级微分结构，所以定理1所说的那种流形一定不可能有任何级的微分结构.

定理2 第二可数实流形的一个m（m1）级微分结构一定有等价的∞级微分结构（这里等价的意思是当作m级微分结构看）.

定理3 8维欧氏空间里的球面有不等价的微分结构.

从定理3知道，不等价的微分结构的流形确实存在.至于对球面的微分结构问题本身的认识，现在已经证明了每个的微分结构的不同的等价类的数目d_n 等于某个有限群的元素的个数，并且有很多d_n已经算出来了，例如

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
dn	1	1	?	1	1	1	28	2	8	6	992	1	3	2	16256

从表上看到，一共有28类微分结构，不同类的不等价. d₃，也就是的不等价的微分结构的数目，还没有算出来.

定理4 第二可数的可定向的二维实流形的任何一个m（1m∞）级微分结构跟一个复解析结构等价（把后者看作m级实微分结构）.

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* 一个拓扑空间里的每点都有一个紧致的邻域，就是把它称为局部紧致空间.