§ 5 二次曲线

 

一、     圆

 

[圆的方程、圆心与半径]

方  程  与  图  形

圆 心 与 半 径

 

  x2 + y2 = R2 

或   

(参数方程，t为动径OM与x轴正方向的夹角)

 

 

 

  圆心    G(0,0)      

  半径    r = R

 

 

(x - a)2+(y - b)2 = R2 

或   

(参数方程，t为动径OM与x轴正方向的夹角)

 

 

  圆心       G(a, b)  

  半径      r = R

 

 

x2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0      

m2 + n2 > q

r2 + 2r (mcost + nsint) + q = 0  (极坐标方程)

             

 

  圆心    G(-m,-n)

  半径   

 

 

 

 

 

r2 - 2rr0cos(j - j0) + r02 = R2           (极坐标方程)

             

 

 

   圆心         G(r0,j0)

   半径         r = R

 

 

 

x2 + y2 = 2Rx

   或 r = 2Rcosj

      (极坐标方程)

 

 

   圆心          G(R, 0)

   半径      r = R

 

            

  x2 + y2 = 2Ry

 或  r = 2Rsinj

      (极坐标方程)

 

   圆心      G(0,R)

   半径      r = R

 

 [圆的切线]

圆   x2 + y2 = R2 上一点M(x0, y0)的切线方程为   

       x0x + y0y = R2

圆   x2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0      上一点M(x0, y0)的切线方程为

x0x + y0y + m(x + x0) + n(y + y0) + q = 0

[两个圆的交角、圆束与根轴]

 

方  程  与  图  形

公  式  与  说  明

两个圆的交角

C1   x2 + y2 + 2m1x + 2n1y + q1 = 0

C2   x2 + y2 + 2m2x + 2n2y + q2 = 0

       两个圆的交角是指它们在交点的两条切线的夹角

 

 

 

      

式中q表示两个圆C1和C2的交角，因为公式中不包含交点的坐标，所以在两交点的两交角必相等.

       两个圆C1和C2正交条件为

              2m1m2 + 2n1n2 - q1 - q2 = 0

 

圆束×两个圆的根轴

Cl   C1 + lC2 = 0 (l为参数)

或  (l + 1)(x2 + y2) + 2(m1 + lm2)x +   2(n1+ln2)y + (q1 + lq2) = 0

根轴方程为 2(m1 - m2)x + 2(n1 - n2)y + (q1 - q2) = 0

       对l(l ¹ -1)的一个确定值，Cl表示一个圆.当l取一切值(l ¹ -1)时，Cl所表示的圆的全体，称为圆束.l = -1时，为一直线，称为两个圆C1和C2的根轴.根轴与C1和C2的连心线垂直，束中任一圆Cl的圆心在C1和C2的连心线上，且分连心线的比等于l.

(a)如果C1和C­2 相交于两点M1，M2，则束中一切圆都通过两交点M1，M2，它们的根轴就是它们的公共弦.这时圆束称为共轴圆系(图(a)).

(b)如果C1和C­2切于一点M，则束中一切圆都在一点M相切，根轴就是在点M的公切线(图(b)).

(c)如果C1和C­2不相交，则束中一切圆都不相交，根轴也与圆束中一切圆都不相交(图(c)).

  从点P作两个圆C1和C2的切线，具有相等切线长的点P的轨迹就是根轴.两个同心圆的根轴是从公共圆心到无穷远处的直线.三个圆中每对圆的根轴(共三个)交于一点，它称为根心.若三个圆心共线，则其根心在无穷远处.

 

 

[反演]    设C为一定圆，O为圆心，r为半径(图7.1)，对平面上任一点M，有一点M¢与它对应.使得满足下列两个条件：

    （i）O, M, M¢共线，

       （ii）OM×OM¢ = r2，

这种点M¢称为点M关于定圆C的反演点，C称为反演圆，O称为反演中心，r称为反演半径.

由于M和M¢的关系是对称的，所以M也是M¢的反演点.因r2 > 0，所以M和M¢都在O的同侧.M和M¢之间的对应称为关于定圆C的反演.

取O为原点，则一切反演点M(x, y)和M¢(x¢,y¢)的对应方程为

             

反演具有性质：

       图7.1

1°    不通过反演中心的一条直线变为通过反演中心的一个圆.

2°    通过反演中心的圆变为不通过反演中心的直线.

3°    通过反演中心的一条直线变为它自己.

4°    不通过反演中心的圆变为不通过反演中心的圆.

5°    反演圆变为它自己.

6°    与反演圆正交的圆变为它自己，其逆也真.

7°    如果两条曲线C1，C2交于一点M，则经过反演后的曲线C1¢, C2¢必交于M的反演点M¢.

8°    如果两条曲线C1, C2在一点M相切，则经过反演后的曲线C1¢, C2¢必在M的反演点M¢相切.

9°    两条曲线的交角在反演下是不变的.由此可见，反演是一个保角变换.

 

二、     椭圆

 

1．椭圆的基本元素

主轴(对称轴)

顶    点     A, B, C, D

椭圆中心     G

焦    点     F1, F2

焦    距    

离 心 率    

压缩系数    

焦点参数     (等于过焦点且垂直于长轴的弦长之半，即F1H)

焦点半径     r1, r2(椭圆上一点(x, y)到焦点的距离)

r1 = a - ex， r2 = a + ex

直    径     PQ(通过椭圆中心的弦)

图 7.2

共轭直径     二直径斜率为，且满足

准    线     L1和L2(平行于短轴，到短轴的距离为)

2．椭圆的方程、顶点、中心与焦点

方  程  与  图  形

顶点·中心·焦点

  (标准方程)或

(参数方程，t为与M点对应的同心圆(半径为a, b)的半径与x轴正方向的夹角)

 

 

 

顶点      A, B(±a, 0)

              C, D(0,±b)

中心      G(0,0)

焦点      F1, F2(±c,0)  

      

 

 

 

或

 

    (t同上)

 

 

顶点      A, B(g ± a, h)

       C, D(g, h ± b)

中心      G(g, h)

焦点      F1, F2(g ± c, h)

      

 

 

 

 

 

 

 

 

顶点      A, B(0, ± a)

       C, D(± b, 0)

中心      G (0, 0)

焦点      F1, F2(0, ± c)

      

 

 

 

，e < 1

 (极坐标方程，极点位于椭圆一焦点上，极轴为从焦点指向最近一个顶点的射线，j为极角，p, e如前述)

 

 

长轴     

短轴     

焦距     

 

3．椭圆的性质

1°    椭圆是到两定点(即焦点)的距离之和为常数(即长轴)的动点M的轨迹  (r1 + r2 = 2a).

2°    椭圆也是到一定点(即焦点之一)的距离与到一定直线(即一准线L)的距离之比为小于1的常数(即离心率)的动点M的轨迹(MF1/ME1 = MF2/ME2 = e).

3°    椭圆是将半径为a的圆沿y轴方向按比(即压缩系数)压缩而得到.

4°    椭圆上一点M(x0, y0)的切线(MT)方程为

切线把点M的两焦点半径间的外角(即∠F1MH)平分(即a=b,),M点的法线MN把内角(即∠F1MF2)平分(图7.3).

       如果椭圆的切线(MT)的斜率为k,则其方程为

               

        图 7.3

       式中正负号表示直径两端点的两切线.

        图 7.4

       5°    椭圆的任一直径把平行于其共轭直径的弦平分(图7.4)

       如果两共轭直径的长分别为2a1和2b1, 两直径与长轴的夹角(锐角)分别为a和b, 则     a1b1sin(a + b) = ab      

a12 + b12 = a2 + b2

       6°    椭圆上任一点M的焦点半径之积等于它的对应半共轭直径的平方.

       7°    设MM¢, NN¢为椭圆的两共轭直径, 通过M, M¢分别作直线平行于NN¢; 又通过N, N¢分别作直线平行于MM¢, 则这四条直线构成的平行四边形的面积为一常数4ab(图7.5).

图 7.5

       4.椭圆各量计算公式

                          

 

 

椭圆各量

计   算   公   式

 [曲率半径]

    R

式中r1, r2为焦点半径, p为焦点参数, a为点M(x, y)的焦点半径与切线的夹角.特别, 顶点的曲率半径

              ,  

  [弧长]

   

=

式中e为离心率

  [周长]

    L

 

式中,    

设,则

           或  

  [面积]

    S

扇形(OAM)面积       

弓形(MAN)面积       

椭  圆  面  积              S = pab

[几何重心]

       G

 

椭 圆 形     G与O重合

半椭圆形    

    (a, b为椭圆的半轴长)         

 

      

 

[转动惯量]       J

 

椭圆的转轴通过b轴

      

式中m为质量     

        

 

 

三、     双曲线

 

1．[1051] 双曲线的基本元素

主轴(对称轴)


 

 

 

 

 

 

 

 

 

      图 7.6

顶    点     A, B

中    心     G

焦    点     F1, F2

焦    距     F1F2 = 2c,    

离 心 率    

焦点参数     (等于过焦点且垂直于实轴的弦长之

                  半,即F1H)

焦点半径     r1, r2       (双曲线上一点(x, y)到焦点的距离,

                  即MF1, MF2)

r1 = ± (ex - a), r2 = ± (ex + a)

直    径     PQ(通过中心的弦)

共轭直径     二直径斜率为k, k¢,且满足

准    线     L1和L2         (垂直于实轴, 到中心的距离为)

2．双曲线的方程、顶点、中心、焦点与渐进线

方  程  与  图  形

顶点·中心·焦点·渐近线

       (标准方程)

或

       (参数方程)

或  

 

 

顶   点      A, B(±a,0)

中   心      G(0,0)

焦   点      F1, F2(±c,0)

      

渐 近 线    

 

 

(与   成共轭双曲线)

           

 

顶   点     

中   心     

焦   点         

渐 近 线   

          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

顶   点      

中   心

焦   点             

渐 近 线      

 

 

               方  程 

与  图  形

顶点·中心·焦点·渐近线

(极坐标方程.极点位于一焦点上，极轴为从焦点背向顶点的射线，p, e如前述.由此方程只能确定一支，另一支可由对称性而得到)

            

实   轴 

虚   轴        

焦   距        

 

   (等轴双曲线)

          

 

顶    点      

中    心    

焦    点           

   (当k>0时取同号，k<0时取异号)

轴    长    

渐 近 线    

      

(等轴双曲线)

  

 

   

顶    点         (当D<0时取同号，D>0时取异号)

中    心    

轴    长

     

渐 近 线     

    

3.双曲线的性质

1° 双曲线是到两定点(焦点)的距离之差为常数(等于实轴2a)的动点M的轨迹(使的各点属于双曲线的一支，而使的各点属于其另一支).

2° 双曲线也是到一定点(焦点之一)的距离与到一定直线(准线L1)的距离之比为大于1的常数(即离心率)的动点M的轨迹().

3° 双曲线上一点M的切线(MT)的方程为

                         

     图  7.8

它把M点两焦点半径间的内角(即)平分(即)，而M点的法线MN把外角(即)平分(图7.7).

如果双曲线的切线的斜率为k，则其切线的方程为

                  

式中正负号表示在直径两端点的两切线.

4°  两条渐近线之间的切线线段TT1被切点M平分(TM = MT1)，且

                   DOTT1的面积，

平行四边形OJMI的面积(图7.8的阴影部分)

                  

5°  双曲线的任一直径把平行于共轭直径的弦平分(图7.9)

       图  7.9

如果两共轭直径的长分别为2a1,2b1, 两直径与实轴夹角(锐角)分别为a和b(a<b)，则

                  

6°  双曲线上任一点M的焦点半径之积等于它的对应半共轭直径的平方.

   图  7.10

7°  设MM¢, NN¢为双曲线的两共轭直径，通过M, M¢分别作直线平行于NN¢；又通过N, N¢分别作直线平行于MM¢，则这四条直线构成的平行四边形的面积为一常数4ab(图7.10).

4．双曲线各量计算公式

                                          

双曲线各量

计   算   公   式

[曲率半径]

     R

 

 

 

 

      

       式中r1, r2为焦点半径，p为焦点参数，a为点M(x, y)的焦点半径与切线的夹角，特别，顶点A, B的曲率半径

 

 双曲线各量

            计   算   公   式

 [弧长]

  

  =

式中e为离心率

  [面积]

     S

 

弓形(AMN)的面积：

             

OAMI的面积：

这里OI, OJ为渐近线，MI // OJ

 

四、     抛物线

 

           图 7.11

1．抛物线的基本元素

抛物线的主轴    AB

顶    点            A

焦    点            F

焦点参数            p(等于过焦点且垂直于轴的

              弦CD之长的一半)

焦点半径            MF(抛物线上一点到焦点的

              距离)

直    径            EMH(平行于抛物线的轴的直

              线)

准    线            L(与抛物线的轴垂直，到顶点A的距离等于，到焦点F的距离等于p)

2．抛物线的方程、顶点、焦点与准线

 

方  程  与  图  形

顶点·焦点·准线

(标准方程)       或

                    

(极坐标方程，极点位于焦点F上，极轴与抛物线的轴重合，背向顶点)

 

 

顶    点     A(0, 0)

焦    点    

准    线    

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

顶    点     A(0, 0)

焦    点    

准    线    

 

 

 

            方  程  与  图  形

    顶点·焦点·准线

  

 

 

顶    点     A(0, 0)

焦    点    

    准    线   

  

 

 

 

 

 

 

顶    点     A(0, 0)

焦    点    

    准    线   

 

顶    点     A(g, h)

焦    点    

准    线    

 

 

 

 

 

顶    点     A(g, h)

焦    点

    准    线   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

顶    点    

(当a>0时，开口向上， 

 当a<0时，开口向下)

焦点参数    

    与x轴的交点   

      

 

 

顶    点    

    焦点参数   

 

 

 

 

 

3．抛物线的性质

           图  7.12

1°    抛物线是到一定点F(焦点)的距离与到一定直线L(准线)的距离相等的动点M的轨迹(MF¢=ME)(图7.12)

2°    抛物线上一点的切线MT的方程为

      

它把M点的焦点半径与直径的夹角(ÐFMG)平分(ÐFMT=ÐTMG)，并且一切与切线MT平行的弦被过M点的直径平分(PI=IQ).

如果抛物线的切线的斜率为k，则其切线的方程为

                  

3°    抛物线的任两切线的夹角等于两切点的焦点半径的夹角的一半.

4°    从焦点F作抛物线在点M的切线的垂线，则垂足的轨迹为在顶点的切线.

4．抛物线各量计算公式

              

抛物线各量

计     算    公    式

[曲率半径]

R

 

 

 

式中a为点M(x, y)的切线与主轴的夹角，n为法线MN之长.特别，顶点的曲率半径R0 = p

   [弧长]

=

     

[面积]

S

弓形(MOD)的面积=平行四边形(MBCD)的面积

  即       

这里MD弓形弦长,CD平行于主轴,BC与抛物线相切,

h为该平行四边形的高(即弓形拱高),特别,

[几何重心]

G

弓形(MOD)的重心

(BC平行于MD,P为切点,PQ平行于Ox)

 

 

五、     一般二次曲线

 

1．二次曲线的一般性质

上面所列举的椭圆、双曲线、抛物线等,它们的方程关于x,y都是二次的,关于x,y的一般二次方程的形式是

它所表示的曲线称为一般二次曲线.这里列举它们的一些共同性质.

[直线与二次曲线的交点]  一直线与一个二次曲线交于两点(实的,虚的,重合的).

[二次曲线的直径与中心]  一个二次曲线的平行于已知方向的弦的中点在一直线上,称它为二次曲线的直径,它平分某一组弦.设已知方向的方向数为a,b,则直径的方程为

或改写为

由此可见,二次曲线的直径组成一个直线束.束内任一直径通过下列两直线交点:

1°  即.

这时二次曲线的一切直径通过同一点,称为中心,这种曲线称为有心二次曲线,中心的坐标为

2°  即

(i)    这时曲线无中心;

(ii)  这时曲线有无限个中心,即中心在同一直线上(中心直线).

这两种曲线称为无心二次曲线.

[二次曲线的主轴(或对称轴)]  如果直径垂直于被它所平分的弦,则称它为二次曲线的主轴(对称轴), 无心二次曲线有一条实的主轴;有心二次曲线有两条实的主轴,它们是互相垂直的,交点就是中心.

[二次曲线的切线与法线] 

二次曲线上的一点的切线方程为

    在点M与二次曲线的切线垂直的直线称为在点M的法线,它的方程为

2．二次曲线的不变量

由一般二次曲线的方程

                                   (1)

的系数所组成的下列三个函数:

称为二次曲线的不变量,即经过坐标变换后,这些量是不变的.行列式D称为二次方程(1)的判别式.

3．二次曲线的标准方程与形状

 

不  变  量

坐标变换后的标准方程

曲线形状

有

心

二

次

曲

线

式中

    

A , C是特征方程

    的两特征根

时为椭圆

时为虚椭圆

有一公共实点的一对虚直线

双曲线

相交两直线

 

 

 

无

心

二

次

曲

线

式中

   

抛物线

时为平行两直线

时为重合二直线

时为一对虚直线

4．二次曲线的几种情况

A

图     形

顶点·中心·焦点参数

抛物线

顶点     

焦点参数 

椭圆

顶点 

     

其中

中心

双曲线

5．圆锥截线

二次曲线都是用平面切割正圆锥面的截线.因此二次曲线也称为圆锥截线（图7.13）


    用一平面P切割正圆锥时,若P不通过锥顶,且不平行于任一母线,则截线为椭圆;若P不通过锥顶,而平行于一条母线时,截线为抛物线;若P不通过锥顶而平行于两条母线时,截线为双曲线;若P垂直于锥轴,截线为圆.

若P通过锥顶,则椭圆变为一点,双曲线变为一对相交直线,抛物线变为P与圆锥相切的一直线.

 

 [1051]