§2
场论初步
一、
场论的基本概念及梯度、散度与旋度
[标量场] 空间区域D的每点M(x,y,z)对应一个数量值
(x,y,z)，它在此空间区域D上就构成一个标量场，用点M(x,y,z)的标函数(x，y，z)表示.若M的位置用矢径r确定，则标量可以看作变矢r的函数＝(r).
例如温度场u(x,y,z),密度场
,电位场e(x,y,z)都是标量场.
[矢量场] 空间区域D的每点M(x，y，z)对应一个矢量值r(x，y，z)，它在此空间区域D上就构成一个矢量场，用点M(x，y，z)的矢量函数r(x，y，z)表示.若M的位置用矢径r确定，则矢量r可以看作变矢r的矢函数r(r)：
r(r)＝X(x，y，z)i＋Y(x，y，z)j＋Z(x，y，z)k
例如流速场 
(x，y，z)，电场E(x，y，z)，磁场H(x，y，z)都是矢量场.
与标量场的情况一样，矢量场概念与矢函数概念，实质上是一样的.沿用这些术语(标量场、矢量场)是为了保留它们的自身起源与物理意义.
[梯度]
grad＝(
，
，
)=
=i＋j＋k
式中
=i
＋j
＋k
称为哈密顿算子,也称为耐普拉算子.grad有的书刊中记作del.
grad的方向与过点(x，y，z)的等量面＝C的法线方向N重合，并指向增加的一方，是函数变化率最大的方向，它的长度等于
.
梯度具有性质：
grad(
＋
)＝ grad＋
grad
(、为常数)
grad()＝ grad＋ grad
gradF()＝
[方向导数]
＝l·grad＝cos
＋cos
＋cos
式中l＝(cos,cos,cos)为方向l的单位矢量,,,为其方向角.
方向导数为在方向l上的变化律，它等于梯度在方向l上的投影.
[散度]
divr＝
＋
＋
=·r=div(X , Y , Z)
式中为哈密顿算子.
散度具有性质：
div(a＋b)＝ diva＋divb (、为常数)
div(a)＝div a＋a grad
div(a×b)＝b·rot a－a·rotb
[旋度]
rotr＝(
)i＋(
)j＋(
)k=×r=
式中为哈密顿算子，旋度也称涡度，rot r有的书刊中记作curl r.
旋度具有性质：
rot(a＋b)＝ rot a＋rot b (、为常数)
rot(a)＝rot a＋a×grad
rot(a×b)＝(b·)a－(a·)b＋(div b)a－(div a)b
[梯度、散度、旋度混合运算] 运算grad作用到一个标量场产生矢量场grad，运算div作用到一个矢量场 r产生标量场div r，运算rot作用到一个矢量场r产生新的矢量场
rot
r.这三种运算的混合运算公式如下：
div rot r＝０
rot grad＝０
div grad＝
＋
＋
=
grad div r＝(r)
rot rot r＝×(×r)
div grad(+)= div grad+div grad (、为常数)
div grad()=div grad＋div grad ＋２grad·grad
grad div r－rot rot r＝r
式中 为哈密顿算子，＝·＝２为拉普拉斯算子.
[势量场(守恒场)] 若矢量场r(x，y，z)是某一标函数(x，y，z)的梯度，即
r＝grad 或 X＝，Y＝，Z＝
则r称为势量场，标函数称为r的势函数.
矢量场r为势量场的充分必要条件是：rot r＝０，或
=
,
=
,
=
势函数计算公式
(x，y，z)＝(x0，y0，z0)＋
＋
＋
[无散场(管形场)] 若矢量场r的散度为零，即div r＝0，则r称为无散场.这时必存在一个无散场T，使r＝rot T，对任意点M有
T＝
式中r为dV到M的距离，积分是对整个空间进行的.
[无旋场] 若矢量场r的旋度为零，即rot r＝0，则r称为无旋场.势量场总是一个无旋场，这时必存在一个标函数，使r＝grad，而对任意点M有
＝－ 
式中r为dV到M的距离，积分是对整个空间进行的.
二、
梯度、散度、旋度在不同坐标系中的表达式
1．单位矢量的变换
[一般公式] 假定x=f(
),y=g(),z=h()把()空间的一个区域 一对一地连续映射为(x，y，z)空间的一个区域D，并假定f，g，h都有连续偏导数，因为对应是一对一的，所以有
＝(x，y，z)，
再假定
也有连续偏导数，则有
或逆变换
沿dx，dy，dz方向的单位矢量记作i，j，k，沿
方向的单位矢量记作
，则有
[圆柱面坐标系的单位矢量] 对于圆柱面坐标系(图8.11)
单位矢量为
它们的偏导数为
[球面坐标系的单位矢量] 对于球面坐标系(图8.12)
单位矢量为
它们的偏导数为
2．矢量的坐标变换
[一般公式] 一个由(x，y，z)坐标系所表达的矢量可以用()坐标系来表达:
＝(
，y，
z)＝i＋y j＋z k＝
式中
[圆柱面坐标系与直角坐标系的互换] 由圆柱面坐标系到直角坐标系的变换公式
由直角坐标系到圆柱面坐标系的变换公式
[球面坐标系与直角坐标系的互换] 由球面坐标系到直角坐标系的变换公式
由直角坐标系到球面坐标系的变换公式
3．各种算子在不同坐标系中的表达式
设U＝U(x，y，z)是一个标函数，V＝V(x，y，z)是一个矢函数.
[在圆柱面坐标系中各种算子的表达式]
哈密顿算子 
＝
+
+
梯 度 gradU＝ U＝
+
+
散 度 divV＝ ·V＝
旋 度 rotV＝ ×V＝
＋
＋
拉普拉斯算子 U＝div gradU＝
[在球面坐标系中各种算子的表达式]
哈密顿算子 
＝
+
+
梯 度 gradＵ＝ Ｕ＝
+
+
散 度 div V=·V=
旋 度 rotV＝ ×V＝
+
＋
拉普拉斯算子 U＝div gradU
＝
三、
曲线积分、曲面积分与体积导数
[矢量的曲线积分及其计算公式] 矢量场r(r)沿曲线
的曲线积分定义为
r(r)·dr＝
r(
)·ri-1
式中ri-1=ri－ri-1，右边极限与的选择无关，曲线
由A到B(图8.13)
若矢函数Ｒ(r)是连续的(就是它的三个分量是
连续函数), 曲线也是连续的, 且有连续转动的
切线, 则曲线积分
存在.
若Ｒ(r)为一力场，则Ｐ＝就等于把
一质点沿着G 移动时力Ｒ所作的功.
矢量曲线积分的计算公式如下：
＝
=
＋
(图8.14)
=－
=
＋
=k (k为常数)
[矢量的环流] 如果G为一闭曲线，则沿曲线G 的曲线积分
＝
称为矢量场Ｒ(r)沿闭曲线G 的环流.
势量场沿任何闭曲线的环流都等于零.如果Ｒ(r)为一势量场，且它的势函数为时，则曲线积分
=
＝(B)－(A)
与连接A，B两点的路径无关，只依赖于A，B两点的
位置(图8.15).
[矢量的曲面积分] 设S为一曲面，令N＝
表示在曲面S上一点的法线单位矢量,V而dS＝NdS表示面积矢量元素.又设(r)=(x, y,z)是定义在曲面S上的连续标函数，R(r)=(X(x, y,z),Y(x, y,z), Z(x,
y,z))是定义在曲面S上的连续矢函数，则曲面积分有如下的三种形式：
1
标量场的通量(或流量)
dS=
dydz i＋
dzdx j＋
dxdy k
式中Syz，Szx，Sxy分别表示曲面S在Oyz平面，Ozx平面，
Oxy平面上的投影.Sxy的正负号规定如下：当从ｚ轴正方
向看去时，看到的是曲面S的正面，认为Sxy为正，如果
看到的是曲面的反面，则认为Sxy为负(图8.16).
2 矢量场的标通量
R·dS=
Xdydz＋
Ydzdx＋
Zdxdy
式中Syz等的意义同1.
3 矢量场的矢通量
R×dS＝(Zj－Yk)dydz＋(Xk－Zi)dzdx＋(Yi－Xj)dxdy
式中Syz等的意义同1.
[矢量的体积导数] 如果S是包围体积V的闭曲面，并包含点r，则沿闭曲面S的曲面积分(
dS, R·dS,
R×dS)与体积V之比，当V趋于零时(即它的直径
０)的极限称为标量场(或矢量场R)在点r处的体积导数(或空间导数).
1 标量场的体积导数就是它的梯度：
grad＝
2 矢量场Ｒ的体积导数之一是它的散度：
div
R＝
3 矢量场Ｒ的另一个体积导数是它的旋度：
rot
R＝－
四、
矢量的积分定理
[高斯公式]
RdV=R·dS=R·NdS
即
式中Ｓ为空间区域Ｖ的边界曲面，N＝为
在S上一点的法线单位矢量，R(r)=(X(x, y,z),Y(x, y,z),Z(x, y,z))
在V＋S上有连续偏导数.
[斯托克斯公式]
rot Ｒ·dS＝rot R·NdS＝
R·dr
即
= 
= 
式中S为一定曲面的一侧，L为曲面S的闭边界曲线(L的正向与N构成右手系).S的每点有切面，其方向连续地依赖于曲面上的点，而边界曲线L上的每点都有切线(图8.17). R(r)=(X(x,
y,z),Y(x,
y,z),Z(x,
y,z))在曲面的所有点单值，并在与S足够靠近的点处有连续偏导数.
[格林公式]
·dS=
·dS=
式中S为空间区域V的边界曲面，
为两个标函数，在S上具有连续偏导数，且在V上具有二阶连续偏导数，为拉普拉斯算子，特别
·dS=
即
