第九章 抽象代数h线性空间h泛函分析

本章内容包括抽象代数、线性空间与泛函分析三个部分，重点介绍线性空间. 为了介绍线性空间的需要，这里简略地介绍了抽象代数的初步知识，即群、环、域等基本概念及其简单的性质. 泛函分析是作为线性空间的理论在分析上应用的一个范例来介绍的，因而也不作系统的叙述. 在这里除了叙述勒贝格积分的基本概念与重要性质外，还扼要地介绍了赋范线性空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间和它们的一些简单的性质.

在线性空间部分介绍了线性空间、线性变换、酉空间、二次型和埃尔米特型、方阵的若当标准型等的定义、性质以及一些算法.

§1 抽象代数

一、 基本代数系统

[代数运算] 假定对于集（见第二十一章，§1，一）A中任意元素a与集B中任意元素b，按某一法则可以与某一集C中唯一确定的元素c对应，则称这个对应为A，B的一个（二元）代数运算. 集A，B也可以是同一个集，就是对A中任两个元素a，b，可以唯一确定元素c，使，c可属于A或不属于A，若属于A，则称A在运算下是封闭的.

在二元运算下，若对A的任意两个元素a和b成立，则称A是可交换的. 若对A的任意三个元素a，b，c在下，成立，则称A是可结合的. 若运算是通常的加法或乘法，就分别记作或. 整数集中的加法和乘法都是可交换的与可结合的，因此整数集是可交换和可结合的.

[代数系统] 如果一个集A具有满足某些法则的代数运算，就称集A为代数系统. 群、环、域就是三个基本的代数系统.

二、 群

[群的定义与例子] 设G不是空集（见第二十一章，§1，一），对G给定一个代数运算，若在之下，满足下列四个条件，则称G为一个群：

（i） G在之下是封闭的，即对每一对元素，则有唯一确定的元素，且.

（ii） G在之下是可结合的，即对任意，有

（iii） 在G中有一元素e，对任一，满足

（iv） 对任一，都有一个，满足

条件（iii）中的e称为单位元或恒等元；条件（iv）中的称为的逆元.

注意，定义中条件（iii）可改为：有一个左单位元e（或右单位元），使（或），对任意成立. 因为由此推出. 因此，群中单位元是唯一的. 定义中条件（iv）可改为：每个元有左（或右）逆元，使（或）成立. 因为由此推出，从而也成立. 因此，群中每个元的逆元是唯一的.

若一个群G的乘法可交换，则称G为交换群或阿贝耳群. 特别在加法之下，交换群称为加法群. 在加法群时，改为，逆元改为负元-，单位元称为零元，记作0.

例1 整数集N组成一个加法群；有理数集、实数集、复数集各组成一个加法群.

例2 非零的实数集对于乘法组成一个群. 正的实数集对于乘法也组成一个群.

例3 一切元在数域F中的n阶可逆矩阵对于矩阵的乘法组成一个群，记作.

例4 设Ω是一个平面图形，是平面上一切使Ω不动的正交变换所组成的集，则组成一个群. 通称为图形Ω的对称群.

例5 一切n次置换的集合组成一个群，称为置换群，记作.

事实上，若任取两个n次置换：

可改写为：

对置换和，规定置换

和它们对应，即为和的乘积，记作

在这个乘法之下，不难推出满足群中规定的条件，因而组成一个群.

例6 非空集S到自身的一切可逆变换（见第二十一章，§1，二）对于变换的乘法组成一个群，称为集S的全变换群，记作. 的子群称为S上的变换群.

[群的基本性质]

1^o 在群中，对任意元a，b，方程

各有解. 即.
2^o 消去律成立. 即若，则.
3^o 群中一般结合律成立. 即

4^o 交换群中一般交换律成立. 即

式中是的任一排列.

[子群] 设群G的非空子集H对于G的运算也组成一个群，则称H为G的一个子群.

群G的非空子集H是子群的充分必要条件是：若，则.

任意个子群的交集（见第二十一章，§1，三）是一个子群.

[循环群] 一个元a的一切乘幂的全体组成一个群，称为循环群. 循环群是交换群.

若序列中没有两个元素相等的，则称G为无限循环群. 若有相等的元素，即

可推出G为n个元的集，即

这时称G为有限循环群，n称为G的阶，即n为使的最小正整数.

循环群的子群还是循环群.

[不变子群·陪集·商群] 设H为群G的一个子群，若对每个元, 有

(这里表示g与H中一切元素的乘积，例如），即，则称H为G的一个不变子群（或正规子群）. 和分别称为G对H含元素g的左陪集和右陪集. 因此含同一元素的不变子群的左陪集和右陪集是重合的.

把陪集看作元素时，一切陪集构成一个群，称为G对H的商群，记作G/H.

拉格朗日定理 有限群G的子群的阶是群G的阶的一个因数.

G的不变子群H的商群的阶为的阶被的阶除所得的商.

交换群的一切子群都是不变子群.

若群G除自身外，无任何其他不变子群，则称G为单群.

[同构与自同构] 设两个群，若使中任意两元a，b的乘积与中相应元的乘积对应，而且只与这个乘积对应，即

具有这个性质的到上的一对一的对应，称为一个同构，又称与是同构的，记作. 群G到自身的同构称为自同构.

同构有以下性质：

1^o在同构之下，一个群的单位元、逆元、子群分别对应到另一个群的单位元、逆元、子群.

2^o同构是一个等价关系，即

(i) 反身性 ；

(ii) 对称性 若，则；

(iii) 传递性 若，，则.

3^o凯莱定理 任一群G都同构于它的元素集的某一变换群.

[同态与自同态] 有两个群,,与一个映射：. 设，若满足

则称为一个同态. 为的一个同态象，记作~. 群到自身的同态称自同态.

同态有以下性质：

1^o一对一的同态就是同构.

2^o在同态之下，单位元映到单位元，逆元映到逆元.

3^o假定f是群G到的一个同态，则G中对应于的单位元的一切元素所成的集N是G的一个不变子群. N称为同态f的核，记作.

4^o假定群G，同态，则G中对应于的任一固定元素的一切元素所成的集是G对同态核N的一个陪集.

5^o同态基本定理 假定G，同态，群G对N的陪集与的元素之间的一一对应是与商群G/N之间的一个同构. 它表明G的同态象与对应的商群G/N同构.

三、 环

[环的定义与例子] 一个非空集R有加法和乘法两个二元运算，若满足下列三个条件，就称R为一个环：

（i）R是一个加法群；

（ii）对乘法满足结合律. 即对任何，有

（iii）对加法和乘法满足左、右分配律. 即对任何，有

一个环若满足乘法的交换律，则称R为交换环.

例1 一切整数全体是一个环，称为整数环.

例2 设F是一个数域，则域F上的多项式的全体是一个环，记作F[x].

例3 如果数集R中任意两个数的和、差、积仍属于R，则R也是一个环，称为数环. 单个数零也是一个数环，称为零环，显然，数环总是交换环.

例4 若R是一个环，一切用R的元所成的n阶方阵在矩阵的加法与乘法之下，构成一个环，称为R上的n阶全方阵环，记作. 当时，为非交换环.

[环的基本性质] 因为环是一个加法群，所以它具有加法群的一切性质. 因此只介绍由乘法所表示的各种性质.

1^o

2^o

3^o对减法分配律成立，即

4^o一般结合律成立，即

5^o一般分配律成立，即

6^o对任意整数m，有

7^o对正整数的指数定律成立，即

对交换环还有

[零因子与单位元] 在环R中，若，使，则称a为R的左（右）零因子，记作. 又称a为b的左（右）零化元. 一个元同时是左、右零因子，就称它为零因子. 若环中无零因子，就称它为无零因子环. n阶全方阵环就是无零因子环.

若环R中有元素，对任一，有，则称为R的左（右）单位元. 若同时是左、右单位元，即，则称e为R的单位元. 这时称R为有单位元环. 例如整数环是单位元环，1就是它的单位元；n阶全方阵环有单位元，就是单位矩阵I.

若R有单位元，则单位元是唯一的；若R有单位元e，并对有逆元，则是唯一的.

有单位元而无零因子的交换环称为整环. 例如整数环、数域都是整环.

[子环与扩张环] 设S是环R的一个子集，若S对R的两个运算组成一个环，则称S为R的一个子环，称R为S的扩张环.

环本身可以看作是它的子环，零环也是它的子环. 异于本身与零环的子环称为真子环.

环R的子集S成为R的子环的充分必要条件是：

(i) S为非空集；

(ii) 若，则；

(iii) 若，则.

[理想与主理想] 设R是一个环，I是R的一个子集，若I中任意两个元素之差以及I中任意元素a与R中任意元素r的乘积和都属于I，则称I为R的一个理想. 例如偶数全体是整数环的一个理想. 每一个理想是已知环的子环，其逆不真.

一个环的任意多个理想的交集仍是这个环的理想. 特别，环中含有某一固定元素r的一切理想的交集仍是这个环的理想，即它是由一个元素r生成的理想，称为主理想，记作（r）.

四、 域

[域的定义与例子] 一个具有单位元的交换环R，若至少含有一个非零元，并且每个非零元a恒有逆，则称R为一个域.

例1 数域F（有理数域Q、实数域R、复数域C等）都是域.

例2 数域F上的一切有理分式 （且）在有理分式的加法和乘法之下组成一个域，称为数域F上的有理分式域.

[域的基本性质]

1^o域没有零因子.

2^o若集F在两个二元运算（加法和乘法）下满足下列条件，则F为一个域：

(i) F是以零为单位元的加法群；

(ii) 由除零外的F的一切元组成的集在乘法下是一个交换群；

(iii) 乘法对加法是可分配的，即.

3^o在域F中，方程（，且）有唯一的解，并可记作.

4^o在域F中，成立指数定律：

式中m，n为任意整数，a，b为F中任意两个元素，只对非零元素才能有负整数的幂.

5^o若把域F的单元e的n倍简记作n，则F中任一元a的n倍就是n与a的积.