第四章 矩阵·行列式·线性方程组

       

本章内容包括矩阵、行列式与线性代数方程组两部分.

在前一部分,叙述了矩阵和行列式的基本概念,重点介绍各种类型矩阵的性质、基本运算,此外,还介绍了矩阵的特征值与特征矢量的求法,及有关的内容,如相似变换等;在线性方程组部分,着重介绍含n个未知量的n个方程的方程组解法,也简单地讨论了解的结构.最后对整系数线性方程组和线性不等式组也作了扼要说明.

§1 矩阵与行列式

 

    一、矩阵及其秩

[矩阵与方阵]数域(第三章,§1F上的m×n个数aij(i=1,2,,m;j=1,2,,n)按确定的位置排成的矩形阵列,称为m×n矩阵.记作

A=

其中横的一排叫做行,竖的一排叫做列,aij称为矩阵的第i行第j列的元素,矩阵A简记为(aij)(aij)m´ n.

n×n矩阵也称为n阶方阵,a11a12,…,ann称为矩阵A的主对角线的元素.

行数m与列数n都是有限的矩阵,称为有限矩阵.否则称为无限矩阵.

[矢量的线性相关与线性无关]对于n维空间的一组矢量x1x2,…,xm,若数域F中有一组不全为零的数ki (i=12,…,m),使

k1x1+k2x2++kmxm=0

成立,则称这组矢量在F上线性相关,否则称这组矢量在F上线性无关.

矢量组的线性相关性的讨论:

矢量组x1x2,…,xm线性相关的充分必要条件是:其中至少有一个矢量xi可用其他矢量的线性组合来表示,即

包含零矢量的矢量组一定线性相关.

矢量组x1x2,…,xm 中,若有两个矢量相等:xi=xj(ij),则该矢量组线性相关.

若矢量组x1x2,…,xr 线性相关,则再添加若干个矢量后所组成的矢量组仍然线性相关;若矢量组x1x2,…,xm 线性无关,则其中任一部分矢量组成的矢量组也线性无关.

x1x2,…,xr线性无关,而x1x2,…,xr+1线性相关,则xr+1可以表示为x1x2,…,xr的线性组合.

[行矢量与列矢量 · 矩阵的秩] 由矩阵任一行的元素构成的n维矢量称为行矢量,记为

ai=(ai1,ai2,...,ain) (i=1,2,...,m)

由矩阵任一列的元素构成的m维矢量称为列矢量,记为

(j=1,2,...,n)

式中t 表示转置,即行(列)转换为列(行).

若矩阵An个列矢量中有r个线性无关(rn),而所有个数大于r的列矢量组都线性相关,则称数r为矩阵A的列秩.类似可定义矩阵A的行秩.

矩阵A的列秩与行秩一定相等,它也称为矩阵的秩,记作rank A=r.

矩阵的秩也等于该矩阵中不等于零的子式(见本节,二)的最大阶数.