三、    曲线积分、曲面积分与体积导数

[矢量的曲线积分及其计算公式]  矢量场r(r)沿曲线的曲线积分定义为

r(r)·drr()·ri-1

式中ri-1=riri-1,右边极限与的选择无关,曲线

AB(8.13)

若矢函数(r)是连续的(就是它的三个分量是

连续函数), 曲线也是连续的, 且有连续转动的

切线, 则曲线积分

存在.

(r)为一力场,则就等于把

一质点沿着G 移动时力所作的功.

    矢量曲线积分的计算公式如下:

       

        =  (8.14)

        =

        =

        =k    (k为常数)

[矢量的环流]  如果G为一闭曲线,则沿曲线G 的曲线积分

称为矢量场(r)沿闭曲线G 的环流.

    势量场沿任何闭曲线的环流都等于零.如果(r)为一势量场,且它的势函数为时,则曲线积分

             =(B)(A)

与连接AB两点的路径无关,只依赖于AB两点的

位置(8.15).

    [矢量的曲面积分]  S为一曲面,令N表示在曲面S上一点的法线单位矢量,VdSNdS表示面积矢量元素.又设(r)=(x, y,z)是定义在曲面S上的连续标函数,R(r)=(X(x, y,z),Y(x, y,z), Z(x, y,z))是定义在曲面S上的连续矢函数,则曲面积分有如下的三种形式:

    1  标量场的通量(或流量)

        dS=dydz idzdx jdxdy k

式中SyzSzxSxy分别表示曲面SOyz平面,Ozx平面,

Oxy平面上的投影.Sxy的正负号规定如下:当从轴正方

向看去时,看到的是曲面S的正面,认为Sxy为正,如果

看到的是曲面的反面,则认为Sxy为负(8.16).

    2  矢量场的标通量

    R·dS=XdydzYdzdxZdxdy

式中Syz等的意义同1.

3  矢量场的矢通量

R×dS(ZjYk)dydz(XkZi)dzdx(YiXj)dxdy

式中Syz等的意义同1.

    [矢量的体积导数]  如果S是包围体积V的闭曲面,并包含点r,则沿闭曲面S的曲面积分(dS, R·dS, R×dS)与体积V之比,当V趋于零时(即它的直径)的极限称为标量场(或矢量场R)在点r处的体积导数(或空间导数).

    1  标量场的体积导数就是它的梯度:

grad

    2  矢量场的体积导数之一是它的散度:

div R

    3  矢量场的另一个体积导数是它的旋度:

rot R=-



V 这里规定法线单位矢量与曲面分布在切面的两侧.