三、n维空间

    [n维空间的定义]  如果空间中的点与n个独立实数x1,···,xn的有序组的值建立一对一且双方连续的对应,那末,以这样的点作为元素的集合称为n维实数空间*(简称n维空间),记作Rn.所以空间中一点M对应于一组有序数x,···,xn;反之,一组有序数x,···,xn对应于一点M.这样的一组有序数(x,···,xn)称为n维空间Rn中一点M的坐标.

    [n维空间中的矢量]  n维空间Rn中取一定点O,坐标为(0,0,···,0),另外一点M(x1x2,···,xn)r为对应于两点OM的矢量,称为点M的矢径.

    假定在Rn中可以引进仿射坐标系,使得矢径r与点M(xi)的坐标的关系是

rx1e1+···+xnenxiei

式中e1,···,enRnn个线性无关的矢量,这种坐标系e1,···,en称为Rn中的仿射坐标系,x1,···,xn称为Rn中矢量r的仿射坐标.

    在三维空间中所讨论的许多结果,在n维空间中都成立,只要把公式中所出现的指标认为从1n就行了.

    [逆变矢量与协变矢量]  n维空间Rn中考虑一个任意坐标变换

**                        (1)

其中函数关于xi有连续的各阶导数(讨论中所需要的阶数),变换的雅可比式不等于零:

因而(1)有逆变换

    a1,···,anxi的函数,如果在坐标变换下,它们都按坐标微分一样地变换,即

则称ai为坐标系(xi)中一个矢量的逆变坐标,为坐标系中同一个矢量的逆变坐标.称矢量为逆变矢量.

    如果ai

的形式变换,则称ai为坐标系(xi)中一个矢量的协变坐标,称 为坐标系中同一矢量的协变坐标,称矢量为协变矢量.

    逆变矢量和协变矢量的变换系数是不同的,但是它们之间有关系式

式中为克罗内克尔符号.

      标量场的梯度是一个协变矢量.

    n维空间的标量场为,它沿一无限小位移dxi上的变更

是一个在坐标变换下的不变量,式中的梯度的分量.因此在坐标变换下,

所以是一个协变矢量.



* n维实数空间另一定义见第二十一章,§3.

** 这里用表示同一点Mxi)在另一个坐标系中的坐标,就是说表示同一点.用同一

个核文字(x)表示同一个对象,用指标上加一撇表示不同的坐标系(如等),这种记法叫核

标法.