§4  酉空间

一、酉空间的定义与性质

    [酉空间与欧氏空间]  V为一个复数域F上的线性空间,若在V中定义了两个矢量的内积(数量积),记作(),且满足:

(i) =),其中()是()的共轭复数;

(ii) ,等号当且仅当时成立;

(iii) ,对任意成立;

则称V为一酉(U)空间,又称为内积空间.

F是实数域,这时内积是可交换的. 有限维实酉空间称为欧氏空间.

  n维线性空间中,若规定

                
     式中 

         

是一个酉空间.

酉空间中的内积具有性质:

1o)=

2o

3o 一般,

             

4o

[(范数)]  由于,所以是实的.

                       

称它为酉空间中矢量的模或范数. 模为1的矢量称为单位矢量或标准矢量.

αβ为酉空间的矢量,c为一复数,则

1o

2o    (柯西-施瓦兹不等式)

等号当且仅当αβ线性相关时成立.

3o

这些性质与空间的维数无关.

[正交与标准正交基]  酉空间V中,若,则称矢量α正交于β. 显然,若α正交于β,则β也正交于α.

酉空间中,任意一组两两正交非零矢量是线性无关的.

如果一组单位矢量两两正交,则称它为一个标准正交组. 若这矢量组又生成整个空间V,则称它为V的标准正交基.

{}为酉空间V的一组标准正交矢量,,则

1o     (贝塞耳不等式)

2o正交于

3oV是有限维空间时,{}成为V的基底的充分必要条件是:任一个矢量可表示为

              

                 

[子空间的正交补空间]  V为复数域上的酉空间,SV的一个子空间,若

(i)

(ii)
则称TS的正交补空间.

(i)立刻可知(空集).

S是一个有限维酉空间的一个子空间,则中有一个子空间TS的正交补空间.