三、巴拿赫空间

    [赋范线性空间]  设V为一个线性空间，对于V中每个元素α，有一个实数与之对应，且具有下列性质：

(i) ，当且仅当时*，；

(ii) ，特别；

(iii) ；

则称V为赋范线性空间. 称为α的范数或模.

对于赋范线性空间V，

则V成为一个尺度空间. 以后讲到赋范线性空间，总认为它是一个尺度空间，并且用（1）式表示它的距离.

[巴拿赫空间的定义与例子]  完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间.

例1  是巴拿赫空间.

    例2  设在内所定义的一切连续函数的全体记为C，令，属于C，c是任一实数，定义

易知C是一个线性空间，对于C中的，定义

则C为一赋范线性空间，这种空间称为空间.   

设，则由可得函数序列一致收敛于.

可以证明，空间是完备的，所以是巴拿赫空间.

例3    设有界实数列

的全体记为M.设与是两个有界数列，a是任一实数. 定义和，数乘与范数如下：

那末M成为一个赋范线性空间,称为收敛序列空间，简称为空间M. 并可证明空间M是完备的，所以是巴拿赫空间.

    [紧致性]  设A为尺度空间E中一个非空集，或者A的任一无限子集至少有一极限点，则称A是一个紧致集.

任一紧致集必为有界.

设是定义在区间上的一个函数族，若对任一，恒有，当，且时，不等式

对A中任意函数成立，则称函数族A在上等度连续.

阿尔采拉—阿斯可里定理  设是定义在上的连续函数族，

若

(i) 存在一个常数M，使此族中的函数都满足；

(ii)  A在上等度连续；

则A中存在着在上一致收敛的函数序列.

设A是空间C中的一个元素，则A为紧致的充分必要条件是：A中一切函数为有界且为等度连续.

    [线性泛函及其性质]  考虑巴拿赫空间V上的泛函数v，对于V中任一点x，有一实函数与它对应，若

    (i) v是可加的，齐次的，即对V中任两点x和y与任两实数a，b，恒有 

    (ii) v是连续的，即当时，，则称为V上的线性泛函.

线性泛函有以下性质：

1^o可加齐次泛函连续的充分必要条件是：有常数，使

                                                          （2）

2^o设是线性泛函，则由满足（2）的一切M构成数集的下确界称为的模或范数，记作；且有

    3^o若对巴拿赫空间V上一个线性泛函序列{}，使在V上处处存在，则有常数，使得

这称为一致有界原理或共鸣定理.