§3  沃尔泰拉积分方程

    [第二类沃尔泰拉积分方程]  一维的第二类沃尔泰拉方程为

                               （1）

这是Fr方程的特殊情形（当ξ>x时，K(x,ξ)=0）。假定F(x)在区间[a,b]上连续, K(x,ξ)在正方形k₀  (a≤x≤b,a≤ξ≤b)上连续，且当（ξ>x）时，

K(x,ξ)=0

因此，当K(x,x)≠0时，核有第一类不连续点x=ξ。

积分方程（1）的解用λ的幂级数表示为

                             （2）

对函数y_n(x)有下列递推公式：

，      

设在有限区间或正方形上，连续函数F(x)和K（x,ξ）满足

，  

式中m, M为常数。因此当充分小时，级数（2）在[a, b]上绝对且一致收敛，其和y(x)是连续函数且满足方程（1）。

也可以作预解核

                                 （3）

式中叠核K_n(x,ξ)由下面递推公式计算：

；   

且从此得出当ξ>x时，K_n(x,ξ)=0。事实上，若ξ>x,则ξ₁<ξ,因而

K(ξ,ξ)=0

可证明级数（3）对一切λ值绝对且一致收敛。于是，沃尔泰拉方程（1）的预解核是整函数，并且对任何λ有如下形式的唯一解：

所以沃尔泰拉方程没有特征值，就是说齐次方程

对任何λ只有平凡解y(x)≡0。因此，若作方程（1）的Fr分母，则可发现它根本没有零点。

[特殊沃尔泰拉方程]  设u(x),v(x)是定义在x≥0上的两个连续函数，由积分

所定义的函数称为函数的u(x)和v(x)的卷积（或褶积）。

根据卷积的性质（即u和v的卷积的拉普拉斯变换等于u和v的拉普拉斯变换之积）可把解特殊沃尔泰拉方程（其核只与两个变量之差有关）：

的问题变为决定一个拉普拉斯变换的反演变换问题。为此，将上式两边各取拉普拉斯变换，并利用卷积的性质，有

得

查拉普拉斯变换表或用其他方法便可以确定y(x)。

    [第一类沃尔泰拉积分方程]    第一类沃尔泰拉积分方程

                                                 （1）

可变为第二类沃尔泰拉积分方程。在核是连续可微的假定下，有两种变换方法。一种方法是，对（1）两边求导，便得

若K(x,x)≠0,这个方程可化为

式中

，     

另一种方法是，设

则方程（1）化为

分部积分得

若K(x,x)≠0,这个方程可改写为

式中

  ，  

[阿贝耳积分方程]    形如

                                                                   (1)

的沃尔泰拉积分方程称为阿贝耳积分方程。对给定函数F(x)适当加以限制下，积分方程（1）可用间接方法求解。（1）式除以（s是一参数），然后两边积分，得

把上式右边的积分次序交换，并改变积分限，化为

                      (2)

令x=(s-ξ)t+ξ,则有

代入（2）式有

或者写为

把这个等式求导，便得所求的解为

若F(x)不能使这个等式的右边存在且连续，则方程（1）没有连续解。