Table of Integrals - Forms Involving `sqrt(ax^2+bx+c)`

The integrals below involve `sqrt(ax^2+bx+c)`

If `b^2=4ac`, then `sqrt(ax^2+bx+c)=sqrta(x+b/(2a))`; use the results in the tables for Integrals Involving `ax+b` or `sqrt(ax+b)`.

If `b=0`, use the results in the tables for Integrals Involving `sqrt(x^2+a^2), sqrt(x^2-a^2), or sqrt(a^2-x^2`.

If `a=0` or `c=0`, use the results in the tables for Integrals Involving `ax+b` or `sqrt(ax+b)`.

1) `int  1/sqrt(ax^2+bx+c)  dx = 1/sqrta  ln  (2sqrtasqrt(ax^2+bx+c)+2ax+b)`

                              OR `= -1/sqrt(-a) sin^-1((2ax+b)/sqrt(b^2-4ac))`

                              OR `= 1/sqrtasinh^-1((2ax+b)/sqrt(4ac-b^2))`

2) `int  x/sqrt(ax^2+bx+c)  dx = sqrt(ax^2+bx+c)/a-b/(2a)  int  1/sqrt(ax^2+bx+c)  dx`

3) `int  x^2/sqrt(ax^2+bx+c)  dx = (2ax-3b)/(4a^2)sqrt(ax^2+bx+c)+(3b^2-4ac)/(8a^2)  int  1/sqrt(ax^2+bx+c)  dx`

4) `int  1/(xsqrt(ax^2+bx+c))dx = -1/sqrtc  ln((2sqrtcsqrt(ax^2+bx+c)+bx+2c)/x)`

                               OR `= 1/sqrt(-c)  sin^-1((bx+2c)/(absxsqrt(b^2-4ac)))`

                               OR `= -1/sqrtc  sinh^-1((bx+2c)/(absxsqrt(4ac-b^2)))`

5) `int  1/(x^2sqrt(ax^2+bx+c))  dx = -sqrt(ax^2+bx+c)/(cx)-b/(2c)  int  1/(xsqrt(ax^2+bx+c))  dx`

6) `int  sqrt(ax^2+bx+c)  dx = ((2ax+b)sqrt(ax^2+bx+c))/(4a)+(4ac-b^2)/(8a)  int  1/sqrt(ax^2+bx+c)  dx`

7) `int  xsqrt(ax^2+bx+c)  dx = (ax^2+bx+c)^(3/2)/(3a)-(b(2ax+b))/(8a^2)sqrt(ax^2+bx+c)-(b(4ac-b^2))/(16a^2)  int  1/sqrt(ax^2+bx+c)  dx`

8) `int  x^2sqrt(ax^2+bx+c)  dx = (6ax-5b)/(24a^2)(ax^2+bx+c)^(3/2)+(5b^2-4ac)/(16a^2)  int  sqrt(ax^2+bx+c)  dx`

9) `int  sqrt(ax^2+bx+c)/x  dx = sqrt(ax^2+bx+c)+b/2  int  1/sqrt(ax^2+bx+c)  dx+c  int  1/(xsqrt(ax^2+bx+c))  dx`

10) `int  sqrt(ax^2+bx+c)/x^2  dx = -sqrt(ax^2+bx+c)/x+a  int  1/sqrt(ax^2+bx+c)  dx+b/2  int  1/(xsqrt(ax^2+bx+c))  dx`

11) `int  1/(ax^2+bx+c)^(3/2)  dx = (2(2ax+b))/((4ac-b^2)sqrt(ax^2+bx+c))`

12) `int  x/(ax^2+bx+c)^(3/2)  dx = (2(bx+2c))/((b^2-4ac)sqrt(ax^2+bx+c))`

13) `int  x^2/(ax^2+bx+c)^(3/2)  dx = ((2b^2-4ac)x+2bc)/(a(4ac-b^2)sqrt(ax^2+bx+c))+1/a  int  1/sqrt(ax^2+bx+c)  dx`

14) `int  1/(x(ax^2+bx+c)^(3/2))  dx = 1/(csqrt(ax^2+bx+c))+1/c  int  1/(xsqrt(ax^2+bx+c))  dx-b/(2c)  int  1/(ax^2+bx+c)^(3/2)  dx`

15) `int  1/(x^2(ax^2+bx+c)^(3/2))  dx = -(ax^2+2bx+c)/(c^2xsqrt(ax^2+bx+c))+(b^2-2ac)/(2c^2)  int  1/(ax^2+bx+c)^(3/2)  dx-(3b)/(2c^2)  int  1/(xsqrt(ax^2+bx+c))  dx`

16) `int  (ax^2+bx+c)^(n+1/2)  dx = ((2ax+b)(ax^2+bx+c)^(n+1/2))/(4a(n+1))+((2n+1)(4ac-b^2))/(8a(n+1))  int  (ax^2+bx+c)^(n-1/2)  dx`

17) `int  x(ax^2+bx+c)^(n+1/2)  dx = (ax^2+bx+c)^(n+3/2)/(a(2n+3))-b/(2a)  int  (ax^2+bx+c)^(n+1/2)  dx`

18) `int  1/(ax^2+bx+c)^(n+1/2)  dx = (2(ax+b))/((2n-1)(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)^(n-1/2))+(8a(n-1))/((2n-1)(4ac-b^2))  int  1/(ax^2+bx+c)^(n-1/2)  dx`

19) `int  1/(x(ax^2+bx+c)^(n+1/2))  dx = 1/((2n-1)c(ax^2+bx+c)^(n-1/2))+1/c  int  1/(x(ax^2+bx+c)^(n-1/2))  dx-b/(2c)  int  1/(ax^2+bx+c)^(n+1/2)  dx`