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拉普拉斯方程
背景：描述静态场（如静电场、重力场、稳态热传导）中的势函数分布。
\[
\nabla^2 y = 0.
\]
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泊松方程
背景：描述具有源项的势场，例如带电体周围的电势或流体压力场。
\[
\nabla^2 \phi = f(\mathbf{x}).
\]
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热传导方程
背景：描述温度随时间和空间的演化，是热传导的基本方程。
\[
\frac{\partial y}{\partial t}
= a \nabla^2 y.
\]
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非均匀热传导方程
背景：描述热导率随空间变化的介质中的热传导。
\[
\frac{\partial y}{\partial t}
= \frac{\partial}{\partial x}
\left( e^{x} \frac{\partial y}{\partial x} \right).
\]
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波动方程
背景：描述声波、弹性波等波动的传播。
\[
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}
= c^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}.
\]
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连续性方程
背景：描述流体中的质量守恒。
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}
+ \nabla\cdot(\rho \mathbf{u}) = 0.
\]
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Burgers 方程
背景：描述一维粘性流中的非线性扩散与激波形成。
\[
\frac{\partial u}{\partial t}
+ u\,u_x
= \nu\,u_{xx}.
\]
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广义 Burgers 方程
背景：对 Burgers 方程的非线性推广，用于更复杂的粘性流动。
\[
\frac{\partial u}{\partial t}
+ u\,u_x
= \nu\,u_{xx}
- (u_{xx})^{2}.
\]
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欧拉方程
背景：描述无粘流体的运动。
\[
\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}
+ (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}
= -\frac{1}{\rho}\nabla p + \mathbf{f}.
\]
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不可压 Navier–Stokes 方程
背景：描述不可压粘性流体的运动，是流体力学的核心方程。
\[
\begin{aligned}
\nabla\cdot\mathbf{u} &= 0, \\
\rho\left(
\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}
+ (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}
\right)
&= -\nabla p + \mu\,\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}.
\end{aligned}
\]
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Stokes 方程
背景：Navier–Stokes 方程在低雷诺数（缓慢或高粘性流动）下的极限形式。
\[
\begin{aligned}
\nabla\cdot\mathbf{u} &= 0, \\
-\nabla p + \mu\,\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f} &= 0.
\end{aligned}
\]
-
伯努利方程
背景：描述理想流体沿流线的能量守恒。
\[
\frac{1}{2}\rho u^{2} + p + \rho g z = \text{常数}.
\]
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普朗特边界层方程
背景：描述固壁附近薄层中的粘性流动。
\[
\begin{aligned}
u_x + v_y &= 0, \\
u u_x + v u_y
&= -\frac{1}{\rho}p_x + \nu u_{yy}.
\end{aligned}
\]
-
RANS（雷诺平均 Navier–Stokes）方程
背景：用于湍流建模，描述平均流场并引入雷诺应力张量。
\[
\rho\left(
\frac{\partial \bar{\mathbf{u}}}{\partial t}
+ \bar{\mathbf{u}}\cdot\nabla\bar{\mathbf{u}}
\right)
= -\nabla\bar{p}
+ \mu\,\Delta\bar{\mathbf{u}}
+ \mathbf{f}
- \rho\nabla\cdot\mathbf{R}.
\]
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KdV（Korteweg–de Vries）方程
背景：浅水波与孤立子理论中的经典模型。
\[
u_t + 6u u_x + u_{xxx} = 0.
\]
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Boussinesq 方程组
背景：描述具有微小密度变化的浮力驱动流动，是自然对流的重要模型。
\[
\begin{aligned}
\nabla\cdot\mathbf{u} &= 0, \\
\rho_0\left(
\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}
+ \mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}
\right)
&= -\nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \rho\mathbf{g}, \\
T_t + \mathbf{u}\cdot\nabla T &= \kappa\,\Delta T.
\end{aligned}
\]
-
旋转浅水方程
背景：描述行星自转影响下的浅水流动，包括科氏力效应。
\[
\begin{aligned}
h_t + \nabla\cdot(h\mathbf{u}) &= 0, \\
\mathbf{u}_t + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}
+ f\mathbf{k}\times\mathbf{u}
&= -g\nabla h.
\end{aligned}
\]
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Helmholtz 方程
背景：频域中的稳态波动方程，用于声学、光学与流体动力学。
\[
\nabla^2 u + k^2 u = 0.
\]
-
运动学波方程
背景：用于描述输运过程中的非线性波动。
\[
u_t + c(u) u_x = 0.
\]
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磁流体力学（MHD）方程
背景：描述导电流体（如等离子体、液态金属）与磁场的相互作用。
\[
\begin{aligned}
\rho(\mathbf{u}_t + \mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u})
&= -\nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{J}\times\mathbf{B}, \\
\mathbf{B}_t &= \nabla\times(\mathbf{u}\times\mathbf{B})
+ \eta\Delta\mathbf{B}, \\
\nabla\cdot\mathbf{B} &= 0.
\end{aligned}
\]
-
Boltzmann 方程
背景：气体动理论的基本方程，描述分布函数的演化。
\[
f_t + \mathbf{v}\cdot\nabla_x f
+ \mathbf{a}\cdot\nabla_v f
= Q(f,f).
\]
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Cahn–Hilliard 方程
背景：描述二元混合物的相分离与粗化过程。
\[
c_t = \nabla\cdot\left(
M\nabla\left(
\frac{\delta F}{\delta c}
- \varepsilon^2 \nabla^2 c
\right)\right).
\]
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Allen–Cahn 方程
背景：描述相界面运动，是 Cahn–Hilliard 方程的渐近模型。
\[
u_t = \varepsilon^2 \nabla^2 u - f(u).
\]
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Maxwell 方程组
背景：电磁学的基本方程，描述电场与磁场的演化。
\[
\begin{aligned}
\nabla\cdot\mathbf{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \\
\nabla\cdot\mathbf{B} &= 0, \\
\nabla\times\mathbf{E} &= -\mathbf{B}_t, \\
\nabla\times\mathbf{B}
&= \mu_0\mathbf{J}
+ \mu_0\varepsilon_0\mathbf{E}_t.
\end{aligned}
\]
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薛定谔方程
背景：量子力学的基本方程，描述波函数的时间演化。
\[
i\hbar \psi_t
= -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi.
\]
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Fisher 方程
背景：描述种群扩散与增长的反应–扩散方程。
说明：Fisher 方程与 Fisher–KPP 方程（第 27 条）在数学形式上完全相同，但来源不同。
\[
u_t = D u_{xx} + r u(1-u).
\]
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Fisher–KPP 方程
背景：Fisher 方程的另一独立推导形式，由 Kolmogorov–Petrovsky–Piskunov 提出，研究其行波解。
说明：此方程与 Fisher 方程（第 26 条）完全相同。
\[
u_t = D u_{xx} + r u(1-u).
\]
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Kuramoto–Sivashinsky 方程
背景：描述非线性振荡、模式形成以及火焰前沿等系统中的不稳定性。
\[
\omega_t + u\omega_x + v\omega_y
= -\nabla^2\omega - \beta\nabla^4\omega.
\]
-
弹性力学方程
背景：描述弹性固体的变形与应力分布。
\[
\nabla\cdot\sigma + \mathbf{f}
= \rho\,\mathbf{u}_{tt}.
\]
-
流固耦合方程
背景：描述流体与可变形结构之间的相互作用。
\[
\rho_f\left(
\mathbf{u}_t + \mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}
\right)
= -\nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}_s.
\]
-
土壤水文方程
背景：描述土壤与地下水中的水分运动，例如 Richards 方程。
\[
\theta_t
= \nabla\cdot\left(
K(\theta)(\nabla h + \mathbf{e}_z)
\right).
\]
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生物扩散方程
背景：描述生物组织中物质（如药物）的扩散与输运。
\[
c_t = D\nabla^2 c + R(c).
\]
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对流–扩散方程
背景：描述标量在对流与扩散作用下的输运。
\[
c_t + \mathbf{u}\cdot\nabla c
= D\nabla^2 c + S.
\]
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黑洞方程（爱因斯坦场方程）
背景：黑洞是广义相对论中爱因斯坦场方程的解。
\[
G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu}
= \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}.
\]
-
等离子体方程
背景：常用 MHD 或动力学方程描述等离子体与电磁场的相互作用。
\[
f_t + \mathbf{v}\cdot\nabla_x f
+ \frac{q}{m}(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B})
\cdot\nabla_v f = 0.
\]
-
可压 Navier–Stokes 方程
背景：描述可压流体的质量、动量与能量守恒。
\[
\begin{aligned}
\rho_t + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}) &= 0, \\
(\rho\mathbf{u})_t + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}\otimes\mathbf{u})
&= -\nabla p + \nabla\cdot\tau + \rho\mathbf{f}, \\
\left(\rho e + \tfrac12\rho|\mathbf{u}|^2\right)_t
+ \nabla\cdot\left[
(\rho e + p)\mathbf{u}
- \mathbf{u}\cdot\tau
+ k\nabla T
\right]
&= \rho\mathbf{u}\cdot\mathbf{f}.
\end{aligned}
\]
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Camassa–Holm 方程
背景：浅水理论中出现的非线性偏微分方程，可描述破波与峰孤子（peakons）。
\[
u_t - u_{xxt}
+ 3u u_x
- 2u_x u_{xx}
- u u_{xxx} = 0.
\]